《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

如图，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平.他拿来一个测平仪，在这个测平仪中，$AB = AC$，$BC$边的中点$D$处挂了一个重锤.小明将$BC$边与木条重合，观察此时挂重锤的线是否过点$A$.如果过点$A$，那么这根木条就是水平的.你能说明其中的道理吗？

答案： 木条水平的道理是利用等腰三角形三线合一性质及重锤线竖直特性，当重锤线过A时BC水平。

1. 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高所在的直线(或底边上的中线所在的直线，或顶角的平分线所在的直线)；等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.

答案： 1. 底边上的高所在的直线(或底边上的中线所在的直线，或顶角的平分线所在的直线)
三

2. 等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合.简写成“等腰三角形的三线合一”.

答案： 2. 底边上的高、中线及顶角的平分线 等腰三角形的三线合一

3. 等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形.

答案： 3. 三条边都相等

4. 等边三角形的性质：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于$60^{\circ}$.

答案： 4. $60^{\circ}$

例题 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$.
(例题图)
(1)$AD$是$BC$边上的高，$AD = AE$.
①如图 1，如果$\angle BAD = 30^{\circ}$，则$\angle EDC =$$^{\circ}$.
②如图 2，如果$\angle BAD = 40^{\circ}$，则$\angle EDC =$$^{\circ}$.
(2)思考：通过以上两小题，你发现$\angle BAD$与$\angle EDC$之间有什么关系？请用式子表示：.
(3)如图 3，如果$AD$不是$BC$边上的高，$AD = AE$，是否仍有上述关系存在？如有，请你说明理由.
答案：(1)①$\because$ 在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$是$BC$边上的高，
$\therefore$ $\angle BAD = \angle CAD$.
$\because$ $\angle BAD = 30^{\circ}$，
$\therefore$ $\angle BAD = \angle CAD = 30^{\circ}$.
$\because$ $AD = AE$，
$\therefore$ $\angle ADE = \angle AED = 75^{\circ}$.
$\therefore$ $\angle EDC = 15^{\circ}$.
②$\because$ 在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$是$BC$边上的高，
$\therefore$ $\angle BAD = \angle CAD$.
$\because$ $\angle BAD = 40^{\circ}$，
$\therefore$ $\angle BAD = \angle CAD = 40^{\circ}$.
$\because$ $AD = AE$，
$\therefore$ $\angle ADE = \angle AED = 70^{\circ}$.
$\therefore$ $\angle EDC = 20^{\circ}$.
(2)$\angle BAD = 2\angle EDC$.
(3)仍有$\angle BAD = 2\angle EDC$.
理由：$\because$ $AD = AE$，
$\therefore$ $\angle ADE = \angle AED$.
$\therefore$ $\angle BAD + \angle B$
$= \angle ADC$
$= \angle ADE + \angle EDC$
$= \angle AED + \angle EDC$
$= (\angle EDC + \angle C) + \angle EDC$
$= 2\angle EDC + \angle C$.
又$\because$ $AB = AC$，
$\therefore$ $\angle B = \angle C$.
$\therefore$ $\angle BAD = 2\angle EDC$.
【解析】(1)①根据“等腰三角形的三线合一”的性质，可得$\angle DAE = 30^{\circ}$，结合$AD = AE$，所以$\angle ADE = \angle AED = 75^{\circ}$，所以$\angle EDC = 15^{\circ}$.
②由①同理易得$\angle ADE = 70^{\circ}$，所以$\angle EDC = 20^{\circ}$. (2)通过①②小题的结论可知，$\angle BAD = 2\angle EDC\left(或\angle EDC = \dfrac{1}{2}\angle BAD\right)$. (3)由$AD = AE$得$\angle ADE = \angle AED$，根据已知，易得$\angle BAD + \angle B = 2\angle EDC + \angle C$，而$B = \angle C$，从而得出结论$\angle BAD = 2\angle EDC$.

答案：
(1)①$\because$ 在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$是$BC$边上的高，
$\therefore \angle BAD = \angle CAD$，
$\because \angle BAD = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD = \angle CAD = 30^{\circ}$，
$\because AD = AE$，
$\therefore \angle ADE = \angle AED = 75^{\circ}$，
$\therefore \angle EDC = 15^{\circ}$，
故答案为：$15^{\circ}$；
②$\because$ 在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$是$BC$边上的高，
$\therefore \angle BAD = \angle CAD$，
$\because \angle BAD = 40^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD = \angle CAD = 40^{\circ}$，
$\because AD = AE$，
$\therefore \angle ADE = \angle AED = 70^{\circ}$，
$\therefore \angle EDC = 20^{\circ}$，
故答案为：$20^{\circ}$；
(2)$\angle BAD = 2\angle EDC$，
故答案为：$\angle BAD = 2\angle EDC$；
(3)仍有$\angle BAD = 2\angle EDC$，
理由：$\because AD = AE$，
$\therefore \angle ADE = \angle AED$，
$\therefore \angle BAD + \angle B = \angle ADC = \angle ADE + \angle EDC = \angle AED + \angle EDC = (\angle EDC + \angle C) + \angle EDC = 2\angle EDC + \angle C$，
又$\because AB = AC$，
$\therefore \angle B = \angle C$，
$\therefore \angle BAD = 2\angle EDC$。