《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

13. 甲、乙都是长方形，边长的数据如图所示（其中 $m$ 为正整数）。
(1) 若甲长方形的面积为 $S_{1}$，乙长方形的面积为 $S_{2}$，试比较 $S_{1}$、$S_{2}$ 的大小，并说明理由。
(2) 现有一正方形，其周长与甲长方形的周长相等，试探究：该正方形的面积 $S$ 与甲长方形的面积 $S_{1}$ 的差是一个常数，并求出这个常数。

答案： 13.
(1)$S_{1}=(m+1)(m+7)=m^{2}+8m+7$,
$S_{2}=(m+2)(m+4)=m^{2}+6m+8$,
$\therefore S_{1}-S_{2}$
$=(m^{2}+8m+7)-(m^{2}+6m+8)$
$=2m-1$.
$\because m$为正整数,
$\therefore 2m-1＞0$,
$\therefore S_{1}＞S_{2}$.
(2)甲长方形的周长$=2(m+7+m+1)$
$=4m+16$,
$\therefore$该正方形的边长为$m+4$,
$\therefore S-S_{1}$
$=(m+4)^{2}-(m^{2}+8m+7)$
$=9$,
$\therefore$这个常数为9.

14. 如图，某小区有一块长为 $8a$ m$(a＞\frac{1}{2})$、宽为 $(8a - 4)$ m 的长方形地块，该长方形地块正中间是一个长为 $(4a + 2)$ m 的长方形，四个角是大小相同的正方形。该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的四个正方形采用 $A$ 绿化方案，对正中间的长方形采用 $B$ 绿化方案。
(1) 采用 $A$ 绿化方案的每个正方形边长是$(2a-1)$m，采用 $B$ 绿化方案的长方形的另一边长是$(4a-2)$m。(用含 $a$ 的代数式表示)
(2) 若采用 $A$、$B$ 两种绿化方案的总造价相同，请你判断哪种方案单位面积造价高？并说明理由。

答案： 14.
(1)$(2a-1)(4a-2)$
(2)A绿化方案的单位面积造价高.
理由:
$\because4S_{正方形}=4(2a-1)^{2}$
$=16a^{2}-16a+4$,
$S_{长方形}=(4a+2)(4a-2)$
$=16a^{2}-4$,
$\therefore4S_{正方形}-S_{长方形}$
$=(16a^{2}-16a+4)-(16a^{2}-4)$
$=8-16a$.
$\because a＞\frac{1}{2}$,
$\therefore8-16a＜0$,
$\therefore4S_{正方形}-S_{长方形}＜0$,
$\therefore4S_{正方形}＜S_{长方形}$.
$\because$A、B两种绿化方案的总造价相同,总
造价除以总面积可得单位面积造价,
$\therefore$A绿化方案的单位面积造价高.