《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

3. 【阅读材料】
把代数式通过配、凑等手段，得到局部两数和(差)的平方式，再进行有关运算，这种解题方法叫做配方法. 配方法在因式分解、解方程、求最值等问题中都有着广泛的应用.
例 1：用配方法分解因式：$a^{2}+4a+3$.
解：原式$=a^{2}+4a+4-1$
$=(a+2)^{2}-1$
$=(a+2-1)(a+2+1)$
$=(a+1)(a+3)$.
例 2：用配方法求整式$x^{2}+8x+21$的最小值.
解：$x^{2}+8x+21=x^{2}+8x+16+5=(x+4)^{2}+5$.
$\because (x+4)^{2}\geq0$，
$\therefore (x+4)^{2}+5\geq5$.
$\therefore$ 整式$x^{2}+8x+21$的最小值为$5$.
【类比应用】
(1) 如果整式$a^{2}-6a+(\quad)$是一个两数差的平方式，则括号内的常数应为9.
(2) 参考例 1 的步骤，用配方法分解因式：$m^{2}-12m+32$.
(3) 参考例 2 的步骤，用配方法求整式$4y^{2}+12y+13$的最小值.

答案： 3.
(1)9
(2)原式$=m^2 - 12m + 36 - 4 $
$=(m - 6)^2 - 4 $
=(m - 6 + 2)(m - 6 - 2)
=(m - 4)(m - 8).
$(3) 4y^2 + 12y + 13 $
$=4y^2 + 12y + 9 + 4 $
$=(2y + 3)^2 + 4. $
∵$ (2y + 3)^2≥0，$
∴$ (2y + 3)^2 + 4≥4. $
∴ 整式$4y^2 + 12y + 13$的最小值为4.