《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

将两数和(差)的平方公式 $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ 适当地变形可以解决很多数学问题.
例如:若 $a + b = 3$,$ab = 1$,求 $a^2 + b^2$ 的值.
解: $\because a + b = 3$,
$\therefore (a + b)^2 = 9$,即 $a^2 + 2ab + b^2 = 9$.
又 $\because ab = 1$,
$\therefore a^2 + b^2 = 7$.
根据上面的解题思路与方法,解决下列问题:
(1) 若 $x + y = 8$,$x^2 + y^2 = 40$,求 $xy$ 的值.
(2) ①若 $(4 - x)x = 5$,则 $(4 - x)^2 + x^2 =$ 6;
②若 $(4 - x)(5 - x) = 8$,则 $(4 - x)^2 + (5 - x)^2 =$ 17.
(3) 如图,$C$ 是线段 $AB$ 上的一点,分别以 $AC$、$BC$ 为边向两边作正方形,设 $AB = 6$,正方形 $ACDE$ 与正方形 $CFGB$ 的面积分别为 $S_1$、$S_2$,已知 $S_1 + S_2 = 18$,求图中阴影部分的面积.

答案：
(1)
∵ $x+y=8$,
∴ $(x+y)^{2}=64$,
即 $x^{2}+2xy+y^{2}=64$.
又
∵ $x^{2}+y^{2}=40$,
∴ $2xy=24$,
∴ $xy=12$.
(2)①6 ②17
(3)设$AC=a,BC=b$,
则 $S_{1}=a^{2},S_{2}=b^{2}$.
由 $S_{1}+S_{2}=18$,得 $a^{2}+b^{2}=18$.
而 $a+b=AB=6,S_{阴影部分}=\frac{1}{2}ab$,
∴ $a^{2}+2ab+b^{2}=36$.
又
∵ $a^{2}+b^{2}=18$,
∴ $2ab=18$.
∴ $S_{阴影部分}=\frac{1}{2}ab=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$,
即阴影部分的面积为$\frac{9}{2}$.