《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

10. 已知：如图，$AO$、$BO$分别是$\angle BAC$、$\angle ABC$的平分线，$OD\perp BC$，$OE\perp AB$，垂足分别为点$D$、$E$。
求证：点$O$在$\angle C$的平分线上。
证明：如图，过点$O$作$OF\perp AC$，垂足为点$F$。
$\because AO$、$BO$分别是$\angle BAC$、$\angle ABC$的平分线(已知)，
$OE\perp AB$，$OD\perp BC$(已知)，
$OF\perp AC$(所作)，
$\therefore OE = OD$，$OE = OF$( )。
$\therefore OD = OF$(等量代换)。
$\therefore$点$O$在$\angle C$的平分线上( )。
【研究原图形】
(1)补全证明过程。
(2)分别连结$DE$、$EF$、$FD$。小婷发现$\triangle DEF$和$\triangle ABC$的内角之间存在一定的数量关系。若$\angle BAC = m^{\circ}$，则$\angle EDF = $$^{\circ}$。(用含$m$的代数式表示)
【解决新问题】
为了方便研究，小婷把满足题目条件的$\triangle DEF$叫做$\triangle ABC$的“内三角形”，点$O$叫做“共心”。
(3)已知$\triangle DEF$是$\triangle ABC$的“内三角形”，点$O$是“共心”，点$D$、$E$、$F$分别在边$BC$、$AB$、$AC$上，且$OE// BC$。先画出符合条件的示意图，再过点$E$作$EG\perp DF$于点$G$，求证：点$G$在直线$AO$上。

答案：
10.
(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等　角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
(2)(90 - $\frac{m}{2}$)
(3)示意图如图:

证明:
∵ OE//BC，OE⊥AB，
∴ ∠ABC = 90°.
由
(2)可知∠EFD = 90° - $\frac{1}{2}$∠ABC = 45°，
∴ ∠GEF = 45°.
∴ EG = FG.
∴ 点G在EF的垂直平分线上.
∵ OE⊥AB，OF⊥AC，且AO平分∠BAC，
∴ ∠AEO = ∠AFO = 90°，∠EAO = ∠FAO.
在△AEO和△AFO中，
$\begin{cases}∠AEO = ∠AFO,\\∠EAO = ∠FAO,\\AO = AO,\end{cases}$
∴ △AEO≌△AFO(AAS).
∴ AE = AF，OE = OF.
∴ AO是EF的垂直平分线.
∴ 点G在直线AO上.