《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

7. 如图，已知 BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC，点 P 在 BD 上，PM⊥AD 于点 M，PN⊥CD 于点 N. 求证：PM=PN.

答案： 7.$\because BD$ 为 $\angle ABC$ 的平分线，
$\therefore \angle ABD = \angle CBD$.
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle CBD$ 中，
$\begin{cases} AB = BC, \\ \angle ABD = \angle CBD, \\ BD = BD, \end{cases}$
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle CBD(SAS)$.
$\therefore \angle ADB = \angle CDB$.
$\because$ 点 $P$ 在 $BD$ 上，$PM \perp AD$，$PN \perp CD$，
$\therefore PM = PN$.

8. 如图，在四边形 ABCD 中，∠BAD=α，∠BCD=180°-α，BD 平分∠ABC.
(1) 如图 1，若α=90°，根据教材中的一个重要性质直接可得 DA=CD，这个性质是角平分线上的点到角的两边距离相等.
(2) 问题解决：如图 2，求证：AD=CD.
(3) 问题拓展：如图 3，在等腰三角形 ABC 中，∠BAC=100°，BD 平分∠ABC，求证：BD+AD=BC.

答案：
8.
(1)角平分线上的点到角的两边距离相等
(2)如图1，过点 $D$ 作 $DE \perp BA$， 交 $BA$ 的延长线于点 $E$，$DF \perp BC$ 于点 $F$.

$\because BD$ 平分 $\angle EBF$，$DE \perp BE$，$DF \perp BF$，
$\therefore DE = DF$.
$\because \angle BAD + \angle C = 180^{\circ}$，$\angle BAD + \angle EAD = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle EAD = \angle C$.
在 $\triangle DEA$ 和 $\triangle DFC$ 中，
$\begin{cases} \angle DEA = \angle DFC, \\ \angle DAE = \angle DCF, \\ DE = DF, \end{cases}$
$\therefore \triangle DEA \cong \triangle DFC(AAS)$.
$\therefore DA = DC$.
(3)如图2，在 $BC$ 上截取 $BK = BD$， 连结 $DK$.

$\because AB = AC$，$\angle A = 100^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC = \angle C = 40^{\circ}$.
$\because BD$ 平分 $\angle ABC$，
$\therefore \angle DBK = \frac{1}{2} \angle ABC = 20^{\circ}$.
$\because BD = BK$，
$\therefore \angle BKD = \angle BDK = 80^{\circ}$，
即 $\angle A + \angle BKD = 180^{\circ}$.
由
(2)的结论得 $AD = DK$.
$\because \angle BKD = \angle C + \angle KDC$，
$\therefore \angle KDC = \angle C = 40^{\circ}$.
$\therefore DK = CK$.
$\therefore AD = DK = CK$.
$\therefore BD + AD = BK + CK = BC$.