《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

在计算 $2^{5} ÷ 2^{3}$ 时，小聪的方法是：因为 $2^{5} = 2^{2} × 2^{3}$，所以 $2^{5} ÷ 2^{3} = 2^{2}$；小红的方法是：$2^{5} ÷ 2^{3} = \frac{2^{5}}{2^{3}} = \frac{2^{3} × 2 × 2}{2^{3}} = 2^{2}$。
你喜欢哪种方法？
仔细观察算式 $2^{5} ÷ 2^{3} = 2^{2}$，你有什么发现？

答案： （喜欢哪种方法的主观题答案略，按题目要求仅选择格式）对于选择题部分（假设问题为选择发现的内容对应的选项）选对应法则的选项（具体题未设选项则仅格式）。

同底数幂的除法法则：
文字语言：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
符号语言：$a^{m} ÷ a^{n} =$$a^{m-n}$($m$、$n$为正整数，$m ＞ n$，$a \neq 0$)。

答案： 不变 相减 $a^{m-n}$

例题 计算：
(1) $(-a)^{6} ÷ (-a)^{3}$。
(2) $(xy)^{4} ÷ (xy)^{2}$。
(3) $(-x)^{7} ÷ x^{2} ÷ (-x)^{3}$。
(4) $(x^{2})^{3} \cdot (-x) - (-x^{3})^{3} ÷ (-x^{2})$。
(5) $(a - b)^{10} ÷ (b - a)^{4} ÷ (b - a)^{3}$。
答案：(1) $(-a)^{6} ÷ (-a)^{3} = (-a)^{6 - 3} = (-a)^{3} = -a^{3}$。
(2) $(xy)^{4} ÷ (xy)^{2} = (xy)^{2} = x^{2}y^{2}$。
(3) $(-x)^{7} ÷ x^{2} ÷ (-x)^{3} = -x^{7} ÷ x^{2} ÷ (-x^{3}) = x^{7} ÷ x^{2} ÷ x^{3} = x^{2}$。
(4) $(x^{2})^{3} \cdot (-x) - (-x^{3})^{3} ÷ (-x^{2}) = x^{6} \cdot (-x) - (-x^{9}) ÷ (-x^{2}) = -x^{6 + 1} - x^{9 - 2} = -x^{7} - x^{7} = -2x^{7}$。
(5) $(a - b)^{10} ÷ (b - a)^{4} ÷ (b - a)^{3} = (b - a)^{10 - 4 - 3} = (b - a)^{3}$。
方法点拨 本题考查同底数幂的乘除法、积的乘方和幂的乘方、合并同类项，按运算顺序正确计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键。

答案： 答题卡：
(1)
$(-a)^{6} ÷ (-a)^{3}$
$=(-a)^{6-3}$
$=(-a)^{3}$
$=-a^{3}$
(2)
$(xy)^{4} ÷ (xy)^{2}$
$=(xy)^{4-2}$
$=(xy)^{2}$
$=x^{2}y^{2}$
(3)
$(-x)^{7} ÷ x^{2} ÷ (-x)^{3}$
$=-x^{7} ÷ x^{2} ÷ (-x^{3})$
$=x^{7} ÷ x^{2} ÷ x^{3}$
$=x^{7-2-3}$
$=x^{2}$
(4)
$(x^{2})^{3} \cdot (-x) - (-x^{3})^{3} ÷ (-x^{2})$
$=x^{6} \cdot (-x) - (-x^{9}) ÷ (-x^{2})$
$=-x^{7} - x^{7}$
$=-2x^{7}$
(5)
$(a - b)^{10} ÷ (b - a)^{4} ÷ (b - a)^{3}$
$=(b - a)^{10} ÷ (b - a)^{4} ÷ (b - a)^{3}$
$=(b - a)^{10-4-3}$
$=(b - a)^{3}$

【方法引领】
提出问题：
已知 $a^{m} = 4$，$a^{m + n} = k$，求 $a^{n}$ 的值。
思考：逆向运用同底数幂的乘法法则，可得 $a^{m + n} = a^{m}a^{n}$。
所以 $k = 4 × a^{n}$。
从而可求得 $a^{n}$。
【问题解决】
(1) 在“方法引领”中，可求得 $a^{n} =$$\frac{k}{4}$。
(2) 利用上述方法解决问题：
已知 $3^{m} = x$，$3^{2m - 3n} = 8$，求 $27^{n}$ 的值。

答案：
(1)$\frac{k}{4}$
(2)由$3^{2m - 3n}=8$，得
$(3^m)^2÷(3^3)^n = 8$
$\therefore x^2÷27^n = 8$
$\therefore 27^n=\frac{x^2}{8}$