《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

5. 已知 $a^{2}+3ab = 5$，求 $(a + b)(a + 2b)-2b^{2}$ 的值。

答案： 5.原式$=a^{2}+2ab+ab+2b^{2}-2b^{2}$
$=a^{2}+3ab$,
把$a^{2}+3ab=5$代入上式,得
原式$=5$.

6. 计算：
(1)$(x + 2)(x + 3)-(x + 6)(x - 1)$。
(2)$(3x + 2y)(2x + 3y)-(x - 3y)(3x + 4y)$。
(3)$(x + y)(x - y)-(2x + y)(x - y + 1)$。

答案： 6.
(1)12
(2)$3x^{2}+18xy+18y^{2}$
(3)$-x^{2}+xy-2x-y$

7. 某学校准备在一块长为 $(3a + 2b)$ m、宽为 $(2a + b)$ m 的长方形空地上修建一块长为 $(a + 2b)$ m、宽为 $(3a - b)$ m 的长方形草坪，四周铺设地砖（阴影部分）。
(1) 求铺设地砖的面积。（用含 $a$、$b$ 的式子表示，结果化为最简）
(2) 若 $a = 3$，$b = 4$，铺设地砖的成本为 $50$ 元/ $m^{2}$，则铺设地砖需要多少元？

答案： 7.
(1)$\because (3a+2b)(2a+b)-(a+2b)(3a-b)$
$=6a^{2}+3ab+4ab+2b^{2}-(3a^{2}-ab+6ab-2b^{2})$
$=6a^{2}+3ab+4ab+2b^{2}-3a^{2}+ab-6ab+2b^{2}$
$=(3a^{2}+2ab+4b^{2})(m^{2})$,
$\therefore$铺设地砖的面积为$(3a^{2}+2ab+4b^{2})m^{2}$.
(2)当$a=3,b=4$时,
原式$=3×3^{2}+2×3×4+4×4^{2}$
$=115(m^{2})$,
$\therefore$铺设地砖需要
$115×50=5750$(元).
答:铺设地砖需要5750元.

8. 回答下列问题：
(1) 计算：
①$(x + 2)(x + 3)=$$x^{2}+5x+6$；
②$(x + 7)(x - 10)=$$x^{2}-3x-70$；
③$(x - 5)(x + 6)=$$x^{2}+x-30$；
④$(x - 2)(x - 5)=$$x^{2}-7x+10$。
(2) 猜想并总结规律：$(x + a)(x + b)=$$x^{2}+(a+b)x+ab$。
(3) 已知 $a$、$b$、$m$ 均为整数，且 $(x + a)(x + b)=x^{2}+mx + 16$，求 $m$ 的所有可能值。

答案： 8.
(1)①$x^{2}+5x+6$ ②$x^{2}-3x-70$ ③$x^{2}+x-30$ ④$x^{2}-7x+10$
(2)$x^{2}+(a+b)x+ab$
(3)由$(x+a)(x+b)=x^{2}+mx+16$,
得$m=a+b,16=ab$.
$\because 16=1×16$或$16=(-1)×(-16)$或$16=2×8$或$16=(-2)×(-8)$或$16=4×4$或$16=(-4)×(-4)$,
$\therefore m$的值为17或-17或10或-10或8或-8.