《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

5. 如图，已知$\angle AOB = 30^{\circ}$，按下列步骤作图：
①在射线$OA$上取一点$C$，以点$O$为圆心，$OC$长为半径作弧$DE$，交射线$OB$于点$F$，连结$CF$；②以点$F$为圆心，$CF$长为半径作弧，交弧$DE$于点$G$；③连结$FG$、$CG$，作射线$OG$. 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是(D).

A.$\angle AOG = 60^{\circ}$
B.$OF$垂直平分$CG$
C.$OG = CG$
D.$OC = 2FG$

答案： 5.D

6. 如图，在$\triangle ABC$中，以点$A$为圆心，$AC$长为半径作弧，交$BC$于点$D$，再分别以点$B$和点$D$为圆心，大于$\frac{1}{2}BD$长为半径作弧，两弧分别交于点$M$和点$N$，连结$MN$，交$AB$于点$E$. 若$AB = 9$，$AC = 7$，则$\triangle ADE$的周长为(D).

A.$22$
B.$20$
C.$18$
D.$16$

答案： 6.D

7. 如图，在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$D$是$AB$上一点，$BD = BC$，过点$D$作$AB$的垂线，交$AC$于点$E$，连结$BE$. 求证：$BE$垂直平分$CD$.

答案： 7.
∵ $\angle ACB = 90°$, $DE \perp AB$，
$\therefore \angle ACB = \angle BDE = 90°$.
在$Rt \triangle BDE$和$Rt \triangle BCE$中，
$\begin{cases} BD = BC, \\ BE = BE, \end{cases}$
$\therefore Rt \triangle BDE \cong Rt \triangle BCE (HL)$.
$\therefore ED = EC$.
∵ $ED = EC$, $BD = BC$，
$\therefore BE$垂直平分$CD$.

8. 风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有$2000$多年的历史. 传统风筝的技艺可概括为四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”.
（1）从图 1 所示的风筝中可以抽象出几何图形图 2，在四边形$ABCD$中，$AB = AD$，$CB = CD$. 求证：$AC \perp BD$.
（2）李明根据图纸（如表中图 3）扎制风筝骨架. 当他根据图纸要求截取$6$根竹条时发现：竹条$AB$、$BD$的长度之和恰好与竹条$BC$的长度相等. 请你用所学的数学知识解释说明.
$CB = CD$
$\angle BAD = 108^{\circ}$
$\angle BCD = 36^{\circ}$

答案：
8.
(1)
∵ $AB = AD$，
$\therefore$点$A$在$BD$的垂直平分线上.
∵ $CB = CD$，
$\therefore$点$C$在$BD$的垂直平分线上.
$\therefore AC$是$BD$的垂直平分线.
$\therefore AC \perp BD$.
(2)如图，在$BC$上截取$BE = BA$，连结$AE$.

∵ $AB = AD$, $\angle BAD = 108°$，
$\therefore \angle ABD = \angle ADB = 36°$.
同理可得$\angle CBD = 72°$.
$\therefore \angle ABC = 108°$.
∵ $BE = BA$，
$\therefore \angle BAE = \angle BEA = 36°$.
在$\triangle ABD$和$\triangle BEA$中，
$\begin{cases} \angle ADB = \angle BAE, \\ \angle ABD = \angle BEA, \\ AB = BE, \end{cases}$
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle BEA (AAS)$.
$\therefore BD = AE$.
∵ $CB = CD$, $AC \perp BD$, $\angle BCD = 36°$，
$\therefore \angle ACE = \frac{1}{2} \angle BCD = 18°$.
∵ $\angle BEA$是$\triangle ACE$的外角，
$\therefore \angle EAC = \angle BEA - \angle ECA = 18°$，
即$\angle ACE = \angle EAC$.
$\therefore AE = CE = BD$.
$\therefore BC = BE + CE = AB + BD$.