《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

有研究表明：$1\mathrm{km}^{2}$的土地上，一年内从太阳中得到的能量相当于燃烧$10^{8}\mathrm{kg}$煤所产生的能量。那么$10^{5}\mathrm{km}^{2}$的土地上，一年内从太阳中得到的能量相当于燃烧多少千克的煤？
小聪列出的算式为$10^{8}×10^{5}$。
那么，如何计算呢？

答案： $10^{13}$

同底数幂的乘法法则：
文字语言：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
符号语言：$a^{m}·a^{n}=$a^{m+n}($m$、$n$为正整数)。

答案： 不变 相加$ a^{m+n}$

例题 计算：
（1）$x^{2}·x + x·x^{2}$。
（2）$a^{2}·(-a)^{2} - a^{3}·a$。
（3）$(x - y)^{5}·(y - x)^{4}·(x - y)^{2}$。
答案：（1）$x^{2}·x + x·x^{2}=x^{3}+x^{3}=2x^{3}$。
（2）$a^{2}·(-a)^{2} - a^{3}·a = a^{2}·a^{2} - a^{4}=a^{4}-a^{4}=0$。
（3）$(x - y)^{5}·(y - x)^{4}·(x - y)^{2}=(x - y)^{5}·(x - y)^{4}·(x - y)^{2}=(x - y)^{11}$。
方法点拨 本题考查合并同类项法则和同底数幂的乘法。注意：①把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变；②$a^{m}·a^{n}=a^{m + n}$。

答案： （1）$x^{2}·x + x·x^{2}=x^{3}+x^{3}=2x^{3}$。（2）$a^{2}·(-a)^{2} - a^{3}·a = a^{2}·a^{2} - a^{4}=a^{4}-a^{4}=0$。（3）$(x - y)^{5}·(y - x)^{4}·(x - y)^{2}=(x - y)^{5}·(x - y)^{4}·(x - y)^{2}=(x - y)^{11}$。

观察以下等式：
①$2^{1}+2^{1}=2×2^{1}=2^{2}$；
②$2^{2}+2^{2}=2×2^{2}=2^{3}$；
③$2^{3}+2^{3}=2×2^{3}=2^{4}$；
……
(1)请写出第 4 个等式：2^{4}+2^{4}=2×2^{4}=2^{5}。
(2)根据你发现的规律，用含字母$n$的式子表示第$n$个等式：2^{n}+2^{n}=2^{n+1}，并说明这个规律的正确性。
(3)请利用上述规律计算：$2^{10}-2^{9}-2^{8}-2^{7}-…-2$。

答案： $(1)2^{4}+2^{4}=2×2^{4}=2^{5}$
$(2)2^{n}+2^{n}=2^{n+1}$
理由$:2^{n}+2^{n}=2^{n}×(1 + 1)=2×2^{n}=2^{n+1}.$
(3)原式$=(2^{9}+2^{9})-2^{9}-2^{8}-2^{7}-\cdots -2$
$=2^{9}-2^{8}-2^{7}-\cdots -2$
$=(2^{8}+2^{8})-2^{8}-2^{7}-\cdots -2$
$=2^{8}-2^{7}-\cdots -2$
$=2^{7}-2^{6}-2^{5}-2^{4}-2^{3}-2^{2}-2$
$=2^{6}-2^{5}-2^{4}-2^{3}-2^{2}-2$
$=2^{5}-2^{4}-2^{3}-2^{2}-2$
$=2^{4}-2^{3}-2^{2}-2$
$=2^{3}-2^{2}-2$
$=2^{2}-2=2.$