《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

8. 如图，点 $ C $ 在线段 $ BD $ 上，在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DEC $ 中，$ \angle A = \angle D $，$ AB = DE $，$ \angle B = \angle E $. 求证：$ AC = DC $.

答案： 8.在$\triangle ABC$和$\triangle DEC$中,
$\begin{cases} \angle A = \angle D, \\ AB = DE, \\ \angle B = \angle E, \end{cases}$
∴ $\triangle ABC \cong \triangle DEC(ASA)$.
∴ $AC = DC$.

9. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $ 在边 $ BC $ 上，$ CD = AB $，$ DE // AB $，$ \angle DCE = \angle A $. 求证：$ DE = BC $.

答案： 9.
∵ $DE// AB$,
∴ $\angle EDC = \angle B$.
在$\triangle CDE$和$\triangle ABC$中,
$\begin{cases} \angle EDC = \angle B, \\ CD = AB, \\ \angle DCE = \angle A, \end{cases}$
∴ $\triangle CDE \cong \triangle ABC(ASA)$.
∴ $DE = BC$.

10. 如图，点 $ A $、$ C $、$ D $、$ B $ 在同一条直线上，点 $ E $、$ F $ 在直线 $ AB $ 的两侧，且 $ AE = BF $，$ \angle A = \angle B $，$ \angle ACE = \angle BDF $.
（1）求证：$ \triangle ACE \cong \triangle BDF $.
（2）若 $ AB = 8 $，$ AC = 2 $，求 $ CD $ 的长.

答案： 10.
(1)在$\triangle ACE$和$\triangle BDF$中,
$\begin{cases} \angle A = \angle B, \\ \angle ACE = \angle BDF, \\ AE = BF, \end{cases}$
∴ $\triangle ACE \cong \triangle BDF(AAS)$.
(2)由
(1)知$\triangle ACE \cong \triangle BDF$,
∴ $BD = AC = 2$.
∵ $AB = 8$,
∴ $CD = AB - AC - BD = 4$.

11. 如图，$ M $ 是线段 $ AB $ 上一点，$ ED $ 是过点 $ M $ 的一条线段，连结 $ AE $，$ BD $，过点 $ B $ 作 $ BF // AE $，交 $ ED $ 于点 $ F $，且 $ EM = FM $.
（1）若 $ AE = 5 $，求 $ BF $ 的长.
（2）若 $ \angle AEC = 90° $，$ \angle DBF = \angle CAE $，求证：$ CD = FE $.

答案： 11.
(1)
∵ $BF// AE$,
∴ $\angle EAM = \angle FBM$,$\angle E = \angle BFM$.
在$\triangle AEM$和$\triangle BFM$中,
$\begin{cases} \angle EAM = \angle FBM, \\ \angle E = \angle BFM, \\ EM = FM, \end{cases}$
∴ $\triangle AEM \cong \triangle BFM(AAS)$.
∴ $AE = BF$.
∵ $AE = 5$,
∴ $BF = 5$.
(2)
∵ $BF// AE$,
∴ $\angle AEC = \angle BFM$.
∵ $\angle AEC = 90^{\circ}$,
∴ $\angle BFM = 90^{\circ}$.
∴ $\angle BFD = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
∴ $\angle AEC = \angle BFD$.
由
(1)知$AE = BF$,
在$\triangle ACE$和$\triangle BDF$中,
$\begin{cases} \angle CAE = \angle DBF, \\ AE = BF, \\ \angle AEC = \angle BFD, \end{cases}$
∴ $\triangle ACE \cong \triangle BDF(ASA)$.
∴ $CE = DF$.
∴ $DF - CF = CE - CF$,
即 $CD = FE$.

12. 如图，点 $ B $、$ F $、$ C $、$ E $ 在直线 $ l $ 上（$ F $、$ C $ 之间不能直接测量），点 $ A $、$ D $ 在直线 $ l $ 的异侧，已知 $ AB // DE $，$ AC // DF $，$ BF = CE $.
（1）求证：$ AC = DF $，$ AB = DE $.
（2）若连结 $ AE $，$ DB $，则 $ AE = DB $，请说明理由.

答案： 12.
(1)
∵ $BF = CE$,
∴ $BF + FC = FC + CE$,即 $BC = EF$.
∵ $AB// DE$,$AC// DF$,
∴ $\angle ABC = \angle DEF$,$\angle ACB = \angle DFE$.
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中,
$\begin{cases} \angle ABC = \angle DEF, \\ BC = EF, \\ \angle ACB = \angle DFE, \end{cases}$
∴ $\triangle ABC \cong \triangle DEF(ASA)$.
∴ $AC = DF$,$AB = DE$.
(2)
∵ $\angle ACB = \angle DFE$,
∴ $\angle ACE = \angle DFB$.
在$\triangle ACE$与$\triangle DFB$中,
$\begin{cases} AC = DF, \\ \angle ACE = \angle DFB, \\ CE = FB, \end{cases}$
∴ $\triangle ACE \cong \triangle DFB(SAS)$.
∴ $AE = DB$.