《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

6. 通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式. 如图，这个大正方形边长为 $a + b + c$，用 $(a + b + c)^2$ 可求得其面积；同时，大正方形的面积也等于 6 个长方形和 3 个正方形的面积之和. 已知 $a + b + c = 8$，$a^2 + b^2 + c^2 = 26$，则 $ab + bc + ac$ 的值是(D)。

A.34
B.23
C.20
D.19

答案： 6.D

7. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法. 在学习因式分解时，我们可以借助直观、形象的几何模型来求解. 下面共有三种卡片：A 型卡片是边长为 $x$ 的正方形；B 型卡片是长为 $y$、宽为 $x$ 的长方形；C 型卡片是边长为 $y$ 的正方形。
(1) 用 1 张 A 型卡片、2 张 B 型卡片拼成如图 1 所示的图形，根据图 1，多项式 $x^2 + 2xy$ 因式分解的结果为x(x+2y).
(2) 请用 1 张 A 型卡片、2 张 B 型卡片、1 张 C 型卡片拼成一个大正方形，在图 2 的虚线框中画出正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解.

答案：
7.
(1)x(x+2y)
(2)如图所示:
　　　　　
$x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}.$

8. 如图 1，有足够多的边长为 $a$ 的小正方形(A 类)，长为 $b$、宽为 $a$ 的长方形(B 类)以及边长为 $b$ 的大正方形(C 类)，小明发现利用图 1 中的三种材料可以拼出一些长方形来解释某些等式。
比如图 2 可以解释为：$(a + 2b)(a + b) = a^2 + 3ab + 2b^2$.
(1) 现取图 1 中的若干材料(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为 $(2a + b) \cdot (a + 2b)$，在虚线框中画出图形，并根据图形计算 $(2a + b)(a + 2b) =$ 2a²+5ab+2b².
(2) 若取其中的若干材料(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为 $a^2 + 5ab + 6b^2$，根据你画的长方形，可得到恒等式：a²+5ab+6b²=(a+3b)(a+2b).
(3) 如图 3，大正方形的边长为 $m$，小正方形的边长为 $n$，用 $x$、$y$ 表示四个相同形状的长方形的两条邻边长 $(x ＞ y)$. 观察图形，正确的关系式是ABCD(填字母序号)。
A. $xy = \frac{m^2 - n^2}{4}$
B. $x + y = m$
C. $x^2 - y^2 = mn$
D. $x^2 + y^2 = \frac{m^2 + n^2}{2}$

答案：
8.
(1)拼图如图所示:
　　　　　
$2a^{2}+5ab+2b^{2}$
$(2)a^{2}+5ab+6b^{2}=(a+3b)(a+2b)$
(3)ABCD