《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

8. 小亮在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图 1，在支架的横杆点$O$处用一根细绳悬挂一个小球$A$，小球$A$可以自由摆动，摆动过程中绳子的伸长不考虑且绳子始终是绷直的。如图 2，$OA$表示小球静止时的位置，当小亮用发声物体靠近小球时，小球从$OA$摆到$OB$位置，此时过点$B$作$BD\perp OA$于点$D$，当小球摆到$OC$位置时，过点$C$作$CE\perp OA$于点$E$，测得$BD = 7\mathrm{cm}$，$OE = 7\mathrm{cm}$。求证：$OB\perp OC$。（图中的点$A$、$B$、$O$、$C$在同一平面内）

答案： 8.根据题意，得OB=OC.
∵ BD⊥OA,CE⊥OA,
∴ ∠ODB=∠OEC=90°.
∴ ∠B+∠BOD=90°.
∵ BD=7cm,OE=7cm,
∴ BD=OE.
∴ Rt△OBD≌Rt△COE(HL).
∴ ∠B=∠COE.
∴ ∠COE+∠BOD=90°即∠BOC=90°.
∴ OB⊥OC.

9. 如图，$OC$是$\angle AOB$的平分线，点$D$在射线$OA$上，点$E$在射线$OB$上，点$F$在射线$OC$上，连结$DF$，$EF$。请你添加一个条件，使$\triangle OFD≌\triangle OFE$。
小明写出以下条件：①$OD = OE$，②$\angle ODF=\angle OEF$，③$\angle OFD=\angle OFE$，④$FD = FE$，⑤$\angle ADF=\angle BEF$，⑥$\angle DFC=\angle EFC$。他认为添加以上条件中的任何一个，都可以使$\triangle OFD≌\triangle OFE$。
(1)小明的说法错误(填“正确”或“错误”)。
(2)从小明写出的条件中选择一个②(填序号)，使$\triangle OFD≌\triangle OFE$，补全图形，并写出证明过程。

答案：
9.
(1)错误
(2)除④外,①②③⑤⑥均可.如选择②(如图),使得△OFD≌△OFE.
理由:
∵ OC是∠AOB的平分线，
∴ ∠DOF=∠EOF.
在△OFD和△OFE中,
$\begin{cases} ∠DOF = ∠EOF, \\ ∠ODF = ∠OEF, \\ OF = OF, \end{cases}$
∴ △OFD≌△OFE(AAS).