《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$AC = BC$，$\angle ACB = 120^{\circ}$，$BE \perp AB$，$D$为$BC$上一点，且$CD = BE$，$AD$、$CE$交于点$P$.
(1) 求证：$\triangle ACD \cong \triangle CBE$.
(2) 猜想$\angle APC$的度数，并证明.

答案： 1.
(1)
∵ AC=BC,∠ACB=120°,
∴ ∠CAB=∠CBA=30°.
∵ BE⊥AB,
∴ ∠CBE=30°+90°=120°.
∴ ∠ACB=∠CBE.
在△ACD和△CBE中,
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ACD=∠CBE,\\CD=BE,\end{cases}$
∴ △ACD≌△CBE(SAS).
(2)∠APC=60°.
理由:
∵ △ACD≌△CBE,
∴ ∠CAP=∠PCD.
∵ ∠ACP+∠PCD=120°,
∴ ∠CAP+∠ACP=120°.
∴ ∠APC=180°-120°=60°.

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$是$BC$的中点，点$E$在$AD$上，
(1) 求证：$\angle 1 = \angle 2$.
(2) 若$\angle BAC = 40^{\circ}$，$\angle 1 = 35^{\circ}$，求证：$CE$平分$\angle ACB$.

答案： 2.
(1)
∵ AB=AC,D是BC的中点,
∴ AD平分∠BAC.
∵ 点E在AD上,
∴ ∠BAE=∠CAE.
在△BAE和△CAE中,
$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAE=∠CAE,\\AE=AE,\end{cases}$
∴ △BAE≌△CAE(SAS).
∴ ∠1=∠2.
(2)
∵ AB=AC,∠BAC=40°,
∴ ∠ACB=∠ABC=$\frac{1}{2}$×(180°-40°)
=70°.
∵ ∠1=∠2=35°,
∴ ∠BCE=∠ACB-∠2=70°-35°
=35°.
∴ ∠2=∠BCE.
∴ CE平分∠ACB.

3. 为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点$B$处测得河北岸的树$A$恰好在点$B$的正北方向.
测量方案如下表：

(1) 第一小组认为要知道河宽$AB$，只需要测出线段BC的长度即可.
(2) 第二小组测得$CD = 30\ m$，则$AB =$30$m$.
(3) 第三小组认为只要测得$BC$的长度就能得到河宽$AB$，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给予证明；如果不可行，请说明理由.

答案： 3.
(1)BC
(2)30
(3)方案可行.
证明:
∵ ∠DBC=70°,∠ACB=35°,
∴ ∠BAC=∠DBC-∠ACB=70°-35°
=35°.
∴ ∠BAC=∠ACB=35°.
∴ AB=BC.
∴ 只要测得BC的长度就能得到河宽AB.