《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

如图，小华把一张长方形纸片对折，剪去一个角，再把它展开，得到的是一个什么样的三角形？

答案： 等腰三角形

1. 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.

答案： 1.有两条边相等 相等的两边 两腰的夹角 腰和底边的夹角

2. 等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).

答案： 2.两个底角相等 等边对等角

3. 在求等腰三角形的周长、顶角、底角等问题时，要注意分类讨论.

答案： 3.分类

例题 数学课上，张老师列举了下面的例题：
例 1 在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ \angle A = 110° $，求 $ \angle B $ 的度数.（答案：$ 35° $）
例 2 在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ \angle A = 40° $，求 $ \angle B $ 的度数.（答案：$ 40° $或 $ 70° $或 $ 100° $）
张老师提示同学们可以进行变式，小敏编了如下一题：
变式 在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ \angle A = 80° $，求 $ \angle B $ 的度数.
（1）请你解答以上的变式题.
（2）小敏发现，$ \angle A $ 的度数不同，得到 $ \angle B $ 的度数的个数也可能不同. 如果在等腰三角形 $ ABC $ 中，设 $ \angle A = x° $，那么当 $ \angle B $ 有三个不同的度数时，请你探索 $ x $ 的取值范围.
答案：（1）若 $ \angle A $ 为顶角，则 $ \angle B = (180° - \angle A) ÷ 2 = 50° $；
若 $ \angle A $ 为底角，$ \angle B $ 为顶角，则 $ \angle B = 180° - 2 × 80° = 20° $；
若 $ \angle A $ 为底角，$ \angle B $ 为底角，则 $ \angle B = 80° $，
$ \therefore \angle B $ 的度数为 $ 50° $或 $ 20° $或 $ 80° $.
（2）分两种情况：
①当 $ 90 \leq x ＜ 180 $ 时，$ \angle A $ 只能为顶角，
$ \therefore \angle B $ 的度数只有一个.
②当 $ 0 ＜ x ＜ 90 $ 时，
若 $ \angle A $ 为顶角，则 $ \angle B = \left( \dfrac{180 - x}{2} \right)° $；
若 $ \angle A $ 为底角，$ \angle B $ 为顶角，则 $ \angle B = (180 - 2x)° $；
若 $ \angle A $ 为底角，$ \angle B $ 为底角，则 $ \angle B = x° $，
当 $ \dfrac{180 - x}{2} \neq 180 - 2x $，$ 180 - 2x \neq x $，且 $ \dfrac{180 - x}{2} \neq x $，即 $ x \neq 60 $ 时，$ \angle B $ 有三个不同的度数.
综上所述，当 $ 0 ＜ x ＜ 90 $，且 $ x \neq 60 $ 时，$ \angle B $ 有三个不同的度数.
【解析】（1）通过例 1 与例 2 的分析，可知变式题的 $ \angle A $ 应分为顶角和底角两种情况进行讨论.
（2）由两个例题及第（1）小题的解题过程可知，$ \angle B $ 应分为锐角及钝角两种情况，即分为 ①当 $ 90 \leq x ＜ 180 $，②当 $ 0 ＜ x ＜ 90 $ 时两种情况进行讨论.
方法点拨 本题主要考查等腰三角形的性质，特别是在遇到求等腰三角形的周长、顶角、底角等问题时，要根据实际数据分析，充分利用分类讨论思想解题.

答案： （1）①若∠A为顶角，则∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-80°)÷2=50°；
②若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°-2×80°=20°；
③若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=80°；
∴∠B的度数为50°或20°或80°。
（2）①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∠B的度数只有一个；
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，∠B=(180-x)/2°；
若∠A为底角，∠B为顶角，∠B=(180-2x)°；
若∠A为底角，∠B为底角，∠B=x°；
当(180-x)/2≠180-2x，180-2x≠x且(180-x)/2≠x，即x≠60时，∠B有三个不同度数；
综上所述，当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数。