《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

1. 试说明式子$(a + 1)(a - 1) + a(1 - a) - a$的值与$a$的取值无关.

答案： 1.
∵ 原式$=a^{2}-1+a-a^{2}-a=-1$，
∴ 原式的值与$a$的取值无关.

2. 阅读材料，回答问题.
在一堂数学活动课上，“奋进”小组发现：如果一个数各数位上的数字之和能被$9$整除，那么这个数就能被$9$整除. 例如：$9207$，$9 + 2 + 0 + 7 = 18$，$18 ÷ 9 = 2$，所以$9207$能被$9$整除.
“奋进”小组的同学对该结论进行了证明.
以两位数为例：设一个两位数的个位数字为$x$，十位数字为$y$，若$x + y$能被$9$整除，则该两位数也能被$9$整除.
证明：$\because x + y$能被$9$整除，
$\therefore$设$x + y = 9k$（$k$为整数）.
$\therefore x = 9k - y$.
$\therefore 10y + x = 10y + 9k - y = 9y + 9k = 9(y + k)$.
$\because y + k$为整数，
$\therefore 10y + x$能被$9$整除，即该两位数能被$9$整除.
“创新”小组发现：将一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中减去个位数字的$2$倍，若差是$7$的倍数，则该整数能被$7$整除. 例如：$294$，$29 - 4 × 2 = 21$，$21 ÷ 7 = 3$，所以$294$能被$7$整除. “创新”小组的同学想对该结论进行证明.
以两位数为例：
设一个两位数的个位数字为$x$，十位数字为$y$，若$y - 2x$能被$7$整除，则该两位数也能被$7$整除.
（1）请你帮“创新”小组完成证明过程.
（2）现有一个三位数，百位数字为$3$，十位数字为$9$，当个位数字为多少时，该三位数能被$7$整除，请直接写出答案.

答案： 2.
(1)
∵ $y - 2x$能被$7$整除，
∴ 设$y - 2x = 7k(k$为整数).
∴ $y = 7k + 2x$.
∴ $10y + x = 10(7k + 2x) + x = 70k + 21x$
$= 7(10k + 3x)$.
∵ $10k + 3x$为整数，
∴ $10y + x$能被$7$整除，即该两位数能被$7$整除.
(2)$2$或$9$