《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

10. 公元前$500$年，毕达哥拉斯学派中的一位成员希帕索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机. 事实上，我国古代发现并阐述无理数的概念比西方更早，但是没有系统的理论.《九章算术》的开方术中指出了存在有数开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开.”《九章算术》的作者们给这种“不尽根数”起了一个专用名词——“面”，“面”就是无理数. 无理数里最具有代表性的数就是“$\sqrt{2}$”，下列关于$\sqrt{2}$的说法错误的是(C).

A.可以在数轴上找到唯一的点与之对应
B.它是面积为$2$的正方形的边长
C.$\sqrt{2}$可以写成$\frac{n}{m}$($m,n$是整数，$n \neq 0$)的形式
D.$1 ＜ \sqrt{2} ＜ 1.5$

答案： 10. C

11. 如图是一个无理数筛选器的工作流程图.
(1) 当$x = 25$时，$y$的值为$\sqrt{5}$.
(2) 如果输入$x$值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请写出此时输入的$x$满足的条件：$x \lt 0$.
(3) 当输出的$y$值是$\sqrt{2}$时，输入的$x$的值并不唯一，请写出两个满足要求的$x$的值：$x = 2$或$x = 4$.

答案： 11.
(1)$\sqrt{5}$
(2)$x \lt 0$
(3)$x = 2$或$x = 4$(答案不唯一)

12. 把下列各数分别填入相应的大括号里.
$-\frac{1}{3}\pi,-\frac{22}{13},0.8080080008\cdots$（每相邻两个$8$之间$0$的个数依次增加$1$），$\sqrt{7},\sqrt[3]{-27}$，$0.324371$，$0.5$，$-\sqrt{0.36}$，$\sqrt[3]{9}$，$4\frac{2}{9}$，$-\sqrt{0.4},\sqrt{16}$.
无理数：$\{ \cdots \}$.
有理数：$\{ \cdots \}$.

答案： 12. $-\frac{1}{3}\pi$,$0.8080080008\cdots$,$\sqrt{7}$,$\sqrt[3]{9}$,$-\sqrt{0.4}$,$-\frac{22}{13}$,$\sqrt[3]{-27}$,$0.324371$,$0.5$,$-\sqrt{0.36}$,$4\frac{2}{9}$,$\sqrt{16}$

13. 先阅读理解，再回答问题.
$\because \sqrt{1^2 + 1} = \sqrt{2}$，且$1 ＜ \sqrt{2} ＜ 2$，
$\therefore \sqrt{1^2 + 1}$的整数部分为$1$；
$\because \sqrt{2^2 + 2} = \sqrt{6}$，且$2 ＜ \sqrt{6} ＜ 3$，
$\therefore \sqrt{2^2 + 2}$的整数部分为$2$；
$\because \sqrt{3^2 + 3} = \sqrt{12}$，且$3 ＜ \sqrt{12} ＜ 4$，
$\therefore \sqrt{3^2 + 3}$的整数部分为$3$；
……
以此类推，$\sqrt{n^2 + n}$（$n$为正整数）的整数部分是多少？请说明理由.

答案： 13. $\sqrt{n^{2}+n}$的整数部分是$n$.
理由：$\because$ $\sqrt{n^{2}+n}=\sqrt{n(n + 1)}$，
且$n^{2} \lt n(n + 1) \lt (n + 1)^{2}$，
$\therefore$ $n \lt \sqrt{n(n + 1)} \lt n + 1$.
$\therefore$ $\sqrt{n^{2}+n}$($n$为正整数)的整数部分为$n$.