《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

9. 小明和小丽玩纸片拼图游戏，他们发现利用图 1 中的三种类型的纸片可以拼出一些图形来解释某些等式. 例如，由图 2，我们可以得到 $(a + 2b)(a + b) = a^2 + 3ab + 2b^2$.
(1) 由图 3 可以解释的等式是(a+2b)(2a+b)=2a²+5ab+2b².
(2) 用边长为 $a$ 的正方形卡片 1 张，长为 $b$、宽为 $a$ 的长方形卡片 6 张，边长为 $b$ 的正方形卡片 9 张拼成一个正方形，则这个正方形的边长为a+3b.
(3) 小丽用 5 个长为 $b$、宽为 $a$ 的长方形按照图 4 方式不重叠地放在大长方形 $ABCD$ 内，大长方形中有未被覆盖的两个部分，设左上角的面积为 $S_1$，右下角的面积为 $S_2$，当 $BC$ 的长变化时，$S_2 - S_1$ 的值始终保持不变. 求 $a$ 与 $b$ 的数量关系。

答案： $9.(1)(a+2b)(2a+b)=2a^{2}+5ab+2b^{2}$
(2)a+3b
(3)设AD=x,
∴$　S_{1}=b(x-3a),S_{2}=2a(x-b).$
∴$　S_{2}-S_{1}=2a(x-b)-b(x-3a)$
　　　　=(2a-b)x+ab.
当2a-b=0时$,S_{2}-S_{1}$的值始终不变，
∴　2a=b.