《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

美术课上，老师要求各小组用铁丝做两个面积分别为$2\ m^2$和$5\ m^2$的正方形框架,小聪很快算出所需铁丝的长度为$(4\sqrt{2}+4\sqrt{5})m$,但这到底是多长呢?
亲爱的同学们,你们知道吗？一起来看教材中是怎样解决这类问题的吧！

答案： $14.6$

2.在实数范围内，任意一个正数有两个平方根，它们互为相反数;$0$的平方根是$0$;负数没有平方根.任意一个实数有且只有一个立方根.

答案： 2.一

**例题** “作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法.如比较$a$、$b$两数的大小,若$a-b＞0$,则$a＞b$;若$a-b=0$,则$a=b$;若$a-b＜0$,则$a＜b$.
课堂上老师讲解了一道题：比较$\frac{\sqrt{19}-2}{3}$与$\frac{2}{3}$的大小.解法如下：
解：$\frac{\sqrt{19}-2}{3}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{19}-2-2}{3}=\frac{\sqrt{19}-4}{3}$.
$\because4^2=16＜19,\therefore\sqrt{19}＞4,\therefore\sqrt{19}-4＞0$,
$\therefore\frac{\sqrt{19}-4}{3}＞0,\therefore\frac{\sqrt{19}-2}{3}＞\frac{2}{3}$.
我们把这种比较大小的方法称为作差法.
请根据以上材料,利用作差法比较实数$\frac{3-\sqrt{13}}{4}$与$-\frac{1}{4}$的大小.
答案：$\frac{3-\sqrt{13}}{4}-(-\frac{1}{4})=\frac{3-\sqrt{13}+1}{4}=\frac{4-\sqrt{13}}{4}$.
$\because4^2=16＞13$,
$\therefore4＞\sqrt{13}$.
$\therefore4-\sqrt{13}＞0$.
$\therefore\frac{4-\sqrt{13}}{4}＞0$.
$\therefore\frac{3-\sqrt{13}}{4}＞-\frac{1}{4}$.
【解析】根据题目所给实例，仿照其比较方法进行比较实数的大小即可.

答案： 解：
$\frac{3 - \sqrt{13}}{4} - \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{3 - \sqrt{13} + 1}{4} = \frac{4 - \sqrt{13}}{4}$，
$\because 3^2 = 9 ＜ 13 ＜ 16 = 4^2$，
$\therefore 3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$，
$\therefore 4 - \sqrt{13} ＞ 0$，
$\therefore \frac{4 - \sqrt{13}}{4} ＞ 0$，
$\therefore \frac{3 - \sqrt{13}}{4} ＞ -\frac{1}{4}$。

阅读下面的文字，解答问题：
大家知道$\sqrt{2}$是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为$\sqrt{2}$的整数部分是$1$，将这个数减去其整数部分，差就是其小数部分.
又例如：$\because\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，
$\therefore\sqrt{7}$的整数部分为$2$，小数部分为$\sqrt{7}-2$.
请解答：
(1)$\sqrt{17}$的整数部分是4，小数部分是$\sqrt{17}-4$.
(2)如果$\sqrt{5}$的小数部分为$a$，$\sqrt{13}$的整数部分为$b$，求$a+b$的值.
(3)已知$10+\sqrt{3}=x+y$，其中$x$是整数，且$0＜y＜1$，求$x-y$的相反数.

答案：
(1)$4 \sqrt{17}-4$
(2)$a+b=\sqrt{5}+1$.
(3)$x-y$的相反数为$\sqrt{3}-12$.