《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

如图，已知等腰三角形 $ ABC $，$ AB = AC $，$ D $ 是边 $ AB $ 上一点（不与点 $ A $、$ B $ 重合），$ E $ 是线段 $ CD $ 延长线上一点，$ \angle BEC = \angle BAC $.
（1）说明 $ \angle EBA = \angle DCA $ 的理由.
（2）小华在探究这个问题时，提出了一个新的猜想：点 $ D $ 在运动的过程中（不与点 $ A $、$ B $ 重合），$ \angle AEC $ 与 $ \angle ABC $ 是否会相等？小丽思考片刻后，提出了自己的想法：可以在线段 $ CE $ 上取一点 $ H $，使得 $ CH = BE $，连结 $ AH $，然后通过学过的知识就能得到 $ \angle AEC $ 与 $ \angle ABC $ 相等. 请你根据小丽的想法，说明 $ \angle AEC = \angle ABC $ 的理由.

答案：

(1)
∵ ∠BEC+∠BDE+∠EBA=180°，∠BAC+∠ADC+∠DCA=180°，
∴ ∠BEC+∠BDE+∠EBA=∠BAC+∠ADC+∠DCA。
又
∵ ∠BEC=∠BAC，∠BDE=∠ADC，
∴ ∠EBA=∠DCA。
(2)如图所示,在线段CE上取一点H,使得CH=BE,连结AH.

∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC)。
由
(1)可知∠EBA=∠DCA。
在△ABE和△ACH中，
$\begin{cases}AB=AC,\\∠EBA=∠DCA,\\BE=CH,\end{cases}$
∴ △ABE≌△ACH(SAS)。
∴ AE=AH，∠BAE=∠CAH；
∴ ∠BAE+∠DAH=∠CAH+∠DAH，
即∠EAH=∠BAC。
∵ AE=AH，
∴ ∠AEC=∠AHD=$\frac{1}{2}$(180°−∠EAH)
=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC)。
∴ ∠AEC=∠ABC。