《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

已知一山高 $ AC $ 为 $ 800m $，$ B $、$ C $ 之间的距离为 $ 1500m $，在山顶 $ A $ 与山下 $ B $ 处各建一个索道口，游客坐缆车可从山下直达山顶. 已知缆车每分钟运行 $ 50m $，则游客到达山顶大约需要几分钟？

答案： 34分钟（题目未要求选项，直接给出结果）

把实际问题转化为数学模型后，若题中有直角三角形信息，则直接应用勾股定理求解；若题中不能直接求出线段的长，则考虑添加辅助线，构造直角三角形求解.

答案： 勾股定理 直角

**例1** 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索 $ AB $ 的长度为 $ 5m $，若将它沿水平方向向左推动 $ 3m $(即 $ DE = 3m $)，且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为().

A. $ 1m $
B. $ \sqrt{2}m $
C. $ 2m $
D. $ 3m $
**答案**：A
**解析**：如图，过点 $ C $ 作 $ CF \perp AB $ 于点 $ F $.
$ \because $ 绳索 $ AB = 5m $，$ DE = 3m $，
$ \therefore AB = AC = 5m $，$ CF = DE = 3m $.
$ \because AF^{2} + CF^{2} = AC^{2} $，
$ \therefore AF = \sqrt{AC^{2} - CF^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4(m) $.
$ \therefore BF = AB - AF = 5 - 4 = 1(m) $.
$ \therefore $ 此时木马上升的高度为 $ 1m $.
故选 A.

**方法点拨** 本题主要考查勾股定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.

答案： 过点 $ C $ 作 $ CF \perp AB $ 于点 $ F $.
$\because$ 绳索 $ AB = 5\,m$，$ DE = 3\,m$，
$\therefore AB = AC = 5\,m$，$ CF = DE = 3\,m$.
在 $ Rt\triangle AFC $ 中，由勾股定理得：
$ AF = \sqrt{AC^2 - CF^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\,m $.
$\therefore BF = AB - AF = 5 - 4 = 1\,m$.
即木马上升的高度为 $ 1\,m $.
A

**例2** 若直角三角形的两边长分别为 $ a $、$ b $，且满足 $ (a - 3)^{2} + |b - 4| = 0 $，则该直角三角形的第三条边长的平方为().
A. $ 25 $
B. $ 7 $
C. $ 25 $ 或 $ 7 $
D. $ 25 $ 或 $ 16 $
**答案**：C
**解析**：$ \because (a - 3)^{2} + |b - 4| = 0 $，
$ \therefore a - 3 = 0 $，$ b - 4 = 0 $.
$ \therefore a = 3 $，$ b = 4 $.
当 $ b = 4 $ 为直角边时，第三条边长的平方为 $ 3^{2} + 4^{2} = 25 $.
当 $ b = 4 $ 为斜边时，第三条边长的平方为 $ 4^{2} - 3^{2} = 7 $.
故选 C.
**方法点拨** 首先利用非负数的性质得 $ a = 3 $，$ b = 4 $，再分 $ b = 4 $ 为直角边或 $ b = 4 $ 为斜边两种情况，分别利用勾股定理计算即可. 本题主要考查非负数的性质、勾股定理等知识，利用分类讨论思想是解题的关键.

答案： 答题卡：
由 $(a - 3)^{2} + |b - 4| = 0$，
因为 $(a - 3)^{2} \geq 0$，$|b - 4| \geq 0$，
所以要使等式成立，必须有 $a - 3 = 0$ 和 $b - 4 = 0$。
解得 $a = 3$，$b = 4$。
当 $b = 4$ 为直角边时，根据勾股定理，第三条边（斜边）的平方为 $a^{2} + b^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$。
当 $b = 4$ 为斜边时，根据勾股定理，第三条边（直角边）的平方为 $b^{2} - a^{2} = 4^{2} - 3^{2} = 16 - 9 = 7$。
综上，第三条边长的平方可能为 $25$ 或 $7$。
故答案为：C. $25$ 或 $7$。