《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

如图，有一池塘，要测量池塘两端 $ A $、$ B $ 之间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达点 $ A $ 和点 $ B $ 的点 $ C $，连结 $ AC $ 并延长到点 $ D $，使 $ CD = CA $，连结 $ BC $ 并延长到点 $ E $，使 $ CE = CB $，连结 $ DE $，那么 $ DE $ 的长就是 $ A $、$ B $ 两端之间的距离。你知道这是为什么吗？

通过这一学时的学习，你一定会找到答案，让我们一起努力吧！

答案： $DE$

1. 基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”。

答案： 1.两边及其夹角分别相等 SAS

2. 基本事实“边角边”要注意角是两边的夹角，边是这个角的两边。

答案： 2.两边的夹角

3. 我们可以通过证明三角形全等来证明线段相等或角相等。

答案： 3.线段相等

例题 如图，点 $ B $、$ E $、$ C $、$ F $ 在同一条直线上，$ AC $ 与 $ DE $ 相交于点 $ O $，$ AB = DE $，$ AB // DE $，$ BE = CF $。
(1) 求证：$ AC // DF $。
(2) 若 $ \angle B = 65° $，$ \angle F = 35° $，求 $ \angle EOC $ 的度数。

答案：(1) $ \because $ $ AB // DE $，
$ \therefore $ $ \angle B = \angle DEF $。
$ \because $ $ BE = CF $，
$ \therefore $ $ BE + EC = CF + EC $，
即 $ BC = EF $。
在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DEF $ 中，$ \begin{cases} AB = DE, \\ \angle B = \angle DEF, \\ BC = EF, \end{cases} $
$ \therefore $ $ \triangle ABC \cong \triangle DEF(SAS) $。
$ \therefore $ $ \angle ACB = \angle F $。
$ \therefore $ $ AC // DF $。
(2) 由 (1) 得 $ \angle B = \angle DEF $，$ \angle ACB = \angle F $，
$ \therefore $ $ \angle DEF = \angle B = 65° $，$ \angle ACB = \angle F = 35° $。
在 $ \triangle EOC $ 中，$ \angle DEF + \angle ACB + \angle EOC = 180° $，
$ \therefore $ $ \angle EOC = 180° - \angle DEF - \angle ACB $
$ = 180° - 65° - 35° $
$ = 80° $。
【解析】(1) 由 $ AB // DE $ 可得 $ \angle B = \angle DEF $，根据 $ BE = CF $ 可得 $ BC = EF $，根据 $ SAS $ 可以判定 $ \triangle ABC \cong \triangle DEF $，进而得到 $ \angle ACB = \angle F $，最后根据平行线的判定即可得证；(2) 由 $ \triangle ABC \cong \triangle DEF $ 得到 $ \angle DEF = 65° $，$ \angle ACB = 35° $，然后根据三角形内角和定理即可求出 $ \angle EOC $ 的度数。
方法点拨 利用全等三角形来证明线段相等或角相等是常见的一种重要思路。本题主要考查平行线的性质与判定、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，根据题目所给条件分析找到判定三角形全等的条件，证得 $ \triangle ABC \cong \triangle DEF $ 是解决问题的关键。

答案：
(1) 见证明过程；
(2) $ 80° $。