《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

如图，$l_{1}$、$l_{2}$是两条交叉的高速公路，现要在$S$区建一个广告牌$P$，使它到两条公路的距离相等，且距离两条公路交叉处$500m$。这个广告牌$P$应建在何处？（在图上标出它的位置，比例尺为$1:20000$）

答案： 在$S$区所在角的平分线上，距离$O$点图上$2.5cm$处标出点$P$。

1. 角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。

答案： 1. 轴对称　角平分线所在的直线

2. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

答案： 2. 角两边的距离相等

3. 角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

答案： 3. 角的平分线上

4. 角平分线的性质定理与角平分线的判定定理是(填“是”或“不是”)互逆定理。

答案： 4. 是

5. 三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三角形三条边的距离相等。

答案： 5. 三角形三条边的距离

例题 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$在$BC$边上，$\angle BAD = 120^{\circ}$，$\angle ABC$的平分线$BE$交$AC$于点$E$，过点$E$作$EF\perp AB$，交$BA$的延长线于点$F$，且$\angle AEF = 60^{\circ}$，连结$DE$。求证：$DE$平分$\angle ADC$。

答案：如图，过点$E$作$EG\perp AD$于点$G$，$EH\perp BC$于点$H$。

$\because EF\perp AB$，$\angle AEF = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle EAF = 90^{\circ}-\angle AEF = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
$\because \angle BAD = 120^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD = 180^{\circ}-\angle BAD-\angle EAF$
$=180^{\circ}-120^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$。
$\therefore \angle EAF = \angle CAD = 30^{\circ}$，
即$AC$平分$\angle DAF$。
又$\because EF\perp AF$，$EG\perp AD$，
$\therefore EF = EG$。
$\because BE$是$\angle ABC$的平分线，$EF\perp AB$，$EH\perp BC$，
$\therefore EF = EH$。
$\therefore EG = EH$。
$\therefore$点$E$在$\angle ADC$的平分线上。
$\therefore DE$平分$\angle ADC$。
【解析】过点$E$作$EG\perp AD$于点$G$，$EH\perp BC$于点$H$，先通过计算得出$\angle EAF = \angle CAD = 30^{\circ}$，根据角平分线的性质得$EF = EG$，$EF = EH$，进而得$EG = EH$，据此根据角平分线的判定定理即可得出结论。
【方法点拨】本题首先利用角平分线的定义得到$AC$平分$\angle DAF$，然后再两次利用角平分线的性质定理得到$EG = EH$，最后利用角平分线的判定定理得到结论。特别要注意区分角平分线的性质定理与判定定理。

答案：
如图，过点$E$作$EG\perp AD$于点$G$，$EH\perp BC$于点$H$。

$\because EF\perp AB$，$\angle AEF = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle EAF = 90^{\circ}-\angle AEF = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
$\because \angle BAD = 120^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD = 180^{\circ}-\angle BAD-\angle EAF$
$=180^{\circ}-120^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$。
$\therefore \angle EAF = \angle CAD = 30^{\circ}$，
即$AC$平分$\angle DAF$。
又$\because EF\perp AF$，$EG\perp AD$，
$\therefore EF = EG$。
$\because BE$是$\angle ABC$的平分线，$EF\perp AB$，$EH\perp BC$，
$\therefore EF = EH$。
$\therefore EG = EH$。
$\therefore$点$E$在$\angle ADC$的平分线上。
$\therefore DE$平分$\angle ADC$。