《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

6. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，已知$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AD$平分$\angle BAC$，点$D$在$BC$上，$DE\perp AB$，垂足为点$E$，$EF// BC$。求证：$EC$平分$\angle FED$。

答案： 6.
∵ AD平分∠BAC，且∠ACB = 90°，DE⊥AB，
∴ DE = DC.
∴ ∠ECD = ∠CED.
∵ EF//BC，
∴ ∠FEC = ∠ECD.
∴ ∠FEC = ∠CED.
∴ EC平分∠FED.

7. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$在边$BC$的延长线上，$\angle ACE = 28^{\circ}$，$\angle ABC$的平分线交$AD$于点$E$，过点$E$作$EH\perp BD$于点$H$，且$\angle CEH = 62^{\circ}$。
（1）求证：$AE$平分$\angle CAF$。
（2）若$AB = 8$，$CD = 10$，$AC = 6$，且$S_{\triangle ABE} = 16$，求$\triangle ACD$的面积。

答案：
7.
(1)如图，过E点作EM⊥BF于点M，EN⊥AC于点N；
∵ BE平分∠ABC，EH⊥BD，
∴ EM = EH.
∵ ∠ACE = 28°，∠CEH = 62°，
∴ ∠HCE = 90° - ∠CEH = 90° - 62° = 28° = ∠ACE；
又
∵ EN⊥AC，EH⊥BD，
∴ EN = EH；
∴ EM = EN；
∴ AE平分∠CAF.

(2)
∵ AB = 8，CD = 10，AC = 6，且S△ABE = 16，
∴ 16 = S△ABE = $\frac{1}{2}$AB·EM = $\frac{1}{2}$×8×EM.
∴ EM = 4.
∴ EN = EH = EM = 4.
∴ S△ACD = S△ACE + S△CED
= $\frac{1}{2}$AC·EN + $\frac{1}{2}$CD·EH
= $\frac{1}{2}$×6×4 + $\frac{1}{2}$×10×4
= 32，
即△ACD的面积为32.

8. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD\perp BC$于点$D$，$AE$平分$\angle BAC$，交$BC$于点$E$，$F$为$BC$延长线上的一点，$FG\perp AE$的延长线于点$M$，交$AD$的延长线于点$G$，$AC$的延长线交$FG$于点$H$。下列结论：①$\angle DAE = \angle F$；②$2\angle DAE = \angle ABD - \angle ACE$；③$S_{\triangle AEB}:S_{\triangle AEC}=AB:AC$；④$\angle AGH = \angle BAE + \angle ACB$，其中正确的有(D)。

A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

答案： 8. D

9. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$，$DG\perp BC$且平分$BC$，$DE\perp AB$于点$E$，$DF\perp AC$于点$F$。
（1）求证：$BE = CF$。
（2）若$AB = 5$，$AC = 3$，求$AE$、$BE$的长。

答案：
9.
(1)如图，连结BD、CD.

∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF，∠BED = ∠CFD = 90°.
∵ DG⊥BC且平分BC，
∴ BD = CD.
在Rt△BED与Rt△CFD中，
$\begin{cases}BD = CD,\\DE = DF,\end{cases}$
∴ Rt△BED≌Rt△CFD(HL).
∴ BE = CF.
(2)
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠EAD = ∠FAD.
在△AED和△AFD中，
$\begin{cases}∠AED = ∠AFD = 90°,\\∠EAD = ∠FAD,\\AD = AD,\end{cases}$
∴ △AED≌△AFD(AAS).
∴ AE = AF.
设BE = x，则CF = x.
∵ AB = 5，AC = 3，AE = AB - BE，AF = AC + CF，
∴ 5 - x = 3 + x.
解得x = 1.
∴ BE = 1，AE = AB - BE = 5 - 1 = 4.