《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

9. 【问题背景】
如图，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $、$ E $ 分别在 $ AC $、$ BC $ 上，连结 $ BD $、$ DE $，已知 $ \angle ABC = 2 \angle C $，$ BD = CD $.
【问题探究】
（1）若 $ \angle A = \angle DEC $，试证明 $ AB = EC $.
（2）若 $ AB = BD $，求 $ \angle A $ 的度数.

答案： 9.
(1)
∵ BD=CD，
∴ ∠C=∠DBC。
∵ ∠ABC=∠ABD+∠DBC=2∠C，
∴ ∠ABD=∠C。
在△ABD和△ECD中，
$\begin{cases}∠A=∠DEC,\\∠ABD=∠C,\\BD=CD,\end{cases}$
∴ △ABD≌△ECD(AAS)。
∴ AB=EC。
(2)
∵ AB=BD，
∴ ∠A=∠BDA。
由
(1)知，∠ABD=∠DBC=∠C。
∵ ∠ADB=∠DBC+∠C，
∴ ∠A=∠ADB=2∠ABD。
∵ ∠A+∠ABD+∠ADB=180°，
∴ ∠A+$\frac{1}{2}$∠A+∠A=180°。
∴ ∠A=72°。

10. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AB // CD $，连结 $ BD $，点 $ E $ 在 $ BD $ 上，连结 $ CE $. 若 $ \angle 1 = \angle 2 $，$ AB = ED $.
（1）求证：$ BD = CD $.
（2）若 $ \angle A = 120° $，$ \angle BDC = 2 \angle 1 $，求 $ \angle DBC $ 的度数.

答案： 10.
(1)
∵ AB//CD，
∴ ∠ABD=∠EDC。
在△ABD和△EDC中，
$\begin{cases}∠1=∠2,\\∠ABD=∠EDC,\\AB=ED,\end{cases}$
∴ △ABD≌△EDC(AAS)。
∴ DB=CD。
(2)
∵ △ABD≌△EDC，
∴ ∠DEC=∠A=120°。
∵ ∠BDC=2∠1，∠1=∠2，
∴ ∠BDC=2∠2。
∵ ∠BDC+∠2=2∠2+∠2=60°，
∴ ∠2=20°。
∴ ∠BDC=40°。
∵ BD=CD，
∴ ∠DBC=∠DCB
=$\frac{1}{2}$(180°-∠BDC)
=$\frac{1}{2}$×(180°-40°)=70°。

11. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ D $ 是 $ BA $ 延长线上的一点，$ E $ 是 $ AC $ 的中点，连结 $ DE $ 并延长，交 $ BC $ 于点 $ M $，$ \angle DAC $ 的平分线交 $ DM $ 于点 $ F $. 求证：$ AF = CM $.

答案： 11.
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C。
∴ ∠DAC=∠B+∠C=2∠C。
∵ AF是∠DAC的平分线，
∴ ∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAC=∠C。
∵ E是AC的中点，
∴ AE=CE。
在△AEF和△CEM中，
$\begin{cases}∠EAF=∠C,\\AE=CE,\\∠AEF=∠CEM,\end{cases}$
∴ △AEF≌△CEM(ASA)。
∴ AF=CM。