《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

13. 在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法. 类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法.
根据课堂学习的经验，解决下列问题：
在一个边长为 $a$ 的正方体中挖出一个边长为 $b$ 的正方体(如图 1)，然后利用切割的方法把剩余的立体图形(如图 2)分成三部分(如图 3)，这三部分长方体的体积依次为 $b^{2}(a - b)$、$ab(a - b)$、$a^{2}(a - b)$.
(1) 分解因式：$a^{2}(a - b)+ab(a - b)+b^{2}(a - b)=$(a - b)(a² + ab + b²).
(2) 请用两种不同的方法求图 1 中的立体图形的体积：(用含 $a$、$b$ 的代数式表示)
①a³ - b³；②b²(a - b) + ab(a - b) + a²(a - b).
思考：类比平方差公式，你能得到的等式为a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).
(3) 应用：利用在(2)中所得到的等式进行因式分解：$x^{3}-125$.
(4) 拓展：已知 $a - 2b = 6$，$ab = -2$，则代数式 $a^{4}b - 8ab^{4}$ 的值为-288.

答案： 13.
(1)(a - b)(a² + ab + b²)
(2)①a³ - b³
②b²(a - b) + ab(a - b) + a²(a - b)
思考:a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
(3)x³ - 125
=x³ - 5³
=(x - 5)(x² + 5x + 25).
(4)-288