《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

12. 如图，将长方形纸片ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C'处，BC'交AD于点E，△BED是何种三角形？请说明理由.

答案： 12. △BED是等腰三角形.
理由:由折叠知,∠EBD=∠CBD.
∵ 四边形ABCD是长方形,
∴ AD//BC.
∴ ∠EDB=∠CBD.
∴ ∠EDB=∠EBD.
∴ △BED是等腰三角形.

13. 在边长为10的等边三角形ABC中，Q是BC边上任意一点，P是AB边上一动点，以每秒2个单位长度的速度从点A向点B移动，设运动时间为t s.
（1）如图1，若CQ=6，当t为何值时，PQ//AC.
（2）如图2，若点P从点A向点B移动，同时点Q以每秒3个单位长度的速度从点B经点C向点A移动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？

答案：
13.
(1)
∵ △ABC是等边三角形,PQ//AC，
∴ ∠BQP=∠C=60°,∠BPQ=∠A=60°,∠B=60°,AB=BC.
∴ ∠B=∠BQP=∠BPQ=60°.
∴ △BPQ是等边三角形.
∴ BP=BQ.
∴ AP=CQ,
由题意可知AP=2t,则2t=6.
∴ t=3.
∴ 当t的值为3时，PQ//AC.
(2)①如图1,当点Q在边BC上时,此时△APQ不可能为等边三角形.

②如图2,当点Q在边AC上时,若△APQ为等边三角形，则AP=AQ.
根据题意可知,AP=2t,BC+CQ=3t.
∴ AQ=BC+AC-(BC+CQ)=10+10-3t=20-3t,
即20-3t=2t.
解得t=4.
∴ 当t=4时,△APQ为等边三角形.

14. 如图，C为线段AE上的点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.
求证：（1）AD=BE.
（2）PQ//AE.

答案： 14.
(1)
∵ C为线段AE上的点,△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴ ∠ACB=∠DCE=∠BCD=60°,AC=BC,DC=EC.
∴ ∠ACD=∠BCE=120°.
在△ACD和△BCE中,
$\begin{cases}AC=BC,\\\angle{ACD}=\angle{BCE},\\DC=EC,\end{cases}$
∴ △ACD≌△BCE(SAS).
∴ AD=BE.
(2)由
(1)知△ACD≌△BCE,
∴ ∠CAD=∠CBE,即∠CAP=∠CBQ.
在△ACP和△BCQ中,
$\begin{cases}\angle{ACP}=\angle{BCQ},\\AC=BC,\\\angle{CAP}=\angle{CBQ},\end{cases}$
∴ △ACP≌△BCQ(ASA).
∴ CP=CQ.
∵ CP=CQ,∠PCQ=60°,
∴ △CPQ是等边三角形,
∴ ∠CPQ=∠ACB=60°.
∴ PQ//AE.