《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

4. 如图，在△ABC 中，D 为 BC 边的中点，过点 B 作 BE//AC，交 AD 的延长线于点 E.
(1) 求证：△BDE≌△CDA.
(2) 若 AD⊥BC，求证：BA=BE.

答案： 4.
(1)$\because D$ 为 $BC$ 的中点，
$\therefore BD = CD$.
$\because BE // AC$，
$\therefore \angle EBD = \angle C$，$\angle E = \angle CAD$.
在 $\triangle BDE$ 和 $\triangle CDA$ 中，
$\begin{cases} \angle EBD = \angle C, \\ \angle E = \angle CAD, \\ BD = CD, \end{cases}$
$\therefore \triangle BDE \cong \triangle CDA(AAS)$.
(2)$\because D$ 为 $BC$ 的中点，$AD \perp BC$，
$\therefore$ 直线 $AD$ 为线段 $BC$ 的垂直平分线.
$\therefore BA = CA$.
由
(1)知 $\triangle BDE \cong \triangle CDA$，
$\therefore BE = CA$.
$\therefore BA = BE$.

5. 如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，BE=CF.
(1) 求证：AD 平分∠BAC.
(2) 连结 EF，求证：AD 垂直平分 EF.

答案： 5.
(1)$\because D$ 是 $BC$ 的中点，
$\therefore BD = CD$.
又$\because BE = CF$，$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，
$\therefore Rt \triangle BDE \cong Rt \triangle CDF$.
$\therefore DE = DF$.
$\therefore$ 点 $D$ 在 $\angle BAC$ 的平分线上.
$\therefore AD$ 平分 $\angle BAC$.
(2)$\because Rt \triangle BDE \cong Rt \triangle CDF$，
$\therefore \angle B = \angle C$.
$\therefore AB = AC$.
$\because BE = CF$，
$\therefore AB - BE = AC - CF$.
$\therefore AE = AF$.
$\because DE = DF$，
$\therefore AD$ 垂直平分 $EF$.

6. 如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，∠BAD=100°，∠ABC 的平分线交 AC 于点 E，过点 E 作 EF⊥AB，垂足为点 F，且∠AEF=50°，连结 DE.
(1) 求证：AE 平分∠FAD.
(2) 求证：DE 平分∠ADC.
(3) 若 AB=7，AD=4，CD=8，$S_{△ACD}=15，$求△ABE 的面积.

答案：
6.
(1)$\because EF \perp AB$，
$\therefore \angle AFE = 90^{\circ}$.
$\because \angle AEF = 50^{\circ}$，
$\therefore \angle EAF = 90^{\circ} - \angle AEF = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$.
$\because \angle BAD = 100^{\circ}$，
$\therefore \angle DAE = 180^{\circ} - 100^{\circ} - 40^{\circ} = 40^{\circ} = \angle EAF$.
$\therefore AE$ 平分 $\angle FAD$.
(2)如图，过点 $E$ 作 $EM \perp AD$ 于点 $M$，$EN \perp BC$ 于点 $N$.

$\because BE$ 平分 $\angle ABC$，$EF \perp AB$，
$\therefore EF = EN$.
$\because AE$ 平分 $\angle DAF$，$EF \perp AB$，
$\therefore FE = EM$.
$\therefore EM = EN$.
$\because EM \perp AD$，$EN \perp CD$，
$\therefore DE$ 平分 $\angle ADC$.
(3)$\because S_{\triangle ACD} = S_{\triangle ADE} + S_{\triangle CDE}$，
$\therefore \frac{1}{2}AD \cdot EM + \frac{1}{2}CD \cdot EN = 15$.
$\therefore \frac{1}{2}(AD + CD) \cdot EM = 15$.
$\therefore \frac{1}{2} × (4 + 8) × EM = 15$.
$\therefore EM = \frac{5}{2}$.
$\therefore EF = \frac{5}{2}$.
$\therefore S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2}AB \cdot EF$
$ = \frac{1}{2} × 7 × \frac{5}{2} = \frac{35}{4}$.