《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

4. 判断下列计算是否正确，并简要说明理由。
（1）$ (a^{3})^{5} = a^{8} $。
（2）$ a^{3} \cdot a^{5} = a^{15} $。
（3）$ (n^{2})^{3} = n^{6} $。

答案： 4.
(1)错误，是幂的乘方，指数应相乘，$(a^{3})^{5}=a^{15}. (2)$错误，是同底数幂的乘法，指数应相加，$a^{3}·a^{5}=a^{8}. (3)$正确，是幂的乘方，指数相乘.

5. 计算：
（1）$ (x^{2})^{5} $。
（2）$ - (a^{2})^{7} $。
（3）$ - (a^{5})^{2} $。
（4）$ (m^{3})^{2} $。

答案： $5.(1)x^{10} (2)-a^{14} (3)-a^{10} (4)m^{6}$

6. 若 $ a^{x} = 2 $，则 $ a^{3x} $ 的值是(C)。

A.4
B.6
C.8
D.9

答案： 6.C

7. 若 $ a^{x} = 2, a^{y} = 3 $，则 $ a^{2x + 3y} $ 的值是(A)。

A.108
B.54
C.36
D.31

答案： 7.A

8. 若 $ a^{x} = 5, a^{2x + y} = 50 $，则 $ a^{y} $ 的值是(C)。

A.10
B.5
C.2
D.40

答案： 8.C

9. 计算：
（1）$ (-x^{4})^{5} + (-x^{5})^{4} $。
（2）$ x \cdot x^{2} \cdot x^{3} + (x^{2})^{3} - 3(x^{3})^{2} $。
（3）$ [ (x^{2})^{3} ]^{2} - 3(x^{2} \cdot x^{3} \cdot x)^{2} $。

答案： $9.(1)-x^{6} (2)0 (3)-2x^{12}$

10. 若 $ 2^{a} = 9, 2^{b} = 15, 2^{c} = 25 $，则 $ a $、$ b $、$ c $ 三者之间关系正确的是(C)。

A.$ a + b = c $
B.$ b^{2} = ac $
C.$ a + c = 2b $
D.$ 2ab = c $

答案： 10.C

11. 已知 $ 3^{m} = a, 3^{n} = b $，那么 $ 3^{2m + n} $ 等于(C)。

A.$ 2ab $
B.$ a^{2} + b $
C.$ a^{2}b $
D.$ a - b $

答案： 11.C

12. 探究：$ 2^{2} - 2^{1} = 2 × 2^{1} - 1 × 2^{1} = 2^{( )} $，
$ 2^{3} - 2^{2} = $2×2^{2}-1×2^{2}$ = 2^{( )} $，
$ 2^{4} - 2^{3} = $2×2^{3}-1×2^{3}$ = 2^{( )} $，
……
(1)请仔细观察，写出第 4 个等式。
(2)请你找规律，写出第 $ n $ 个等式。
(3)计算：$ 2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + \cdots + 2^{2019} - 2^{2020} $。

答案： 12.探究$:2^{2}-2^{1}=2×2^{1}-1×2^{1}=2^{1}，$$2^{3}-2^{2}=2×2^{2}-1×2^{2}=2^{2}，$$2^{4}-2^{3}=2×2^{3}-1×2^{3}=2^{3}. (1)2^{5}-2^{4}=2×2^{4}-1×2^{4}=2^{4}. (2)2^{n+1}-2^{n}=2×2^{n}-1×2^{n}=2^{n}. (3)$原式$=-(2^{2020}-2^{2019}-2^{2018}-2^{2017}-\cdots-2^{2}-2)=-2.$