《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

学校要举行美术作品比赛，小聪想裁出一块面积为 $36dm^{2}$ 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛. 这块正方形画布的边长为多少？
通过今天的学习，相信你的疑问会得到解答.

答案： 6

1. 平方根的定义：如果 一个数的平方等于a，那么这个数叫做 $a$ 的平方根.

答案： 1.一个数的平方等于a

2. 算术平方根的定义：正数a的正的平方根叫做 $a$ 的算术平方根.

答案： 2.正数a的正的平方根

3. 正数 $a$ 的算术平方根表示为 \sqrt{a}，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即 $-\sqrt{a}$. 因此正数 $a$ 的平方根可以记作 \pm\sqrt{a}，其中 $a$ 称为被开方数. $0$ 的平方根只有一个(就是 $0$)，也叫做 $0$ 的算术平方根，记作 \sqrt{0}. 即 $\sqrt{0}=0$.

答案： $3.\sqrt{a} $根号$a \pm\sqrt{a} \sqrt{0}$

4. 平方根的性质：一个正数有 两个平方根，它们互为相反数；$0$ 的平方根是 0；负数 没有平方根.

答案： 4.两 0 没有

5. 开平方：求一个非负数的 平方根的运算，叫做开平方.

答案： 5.平方根

例题 王老师给同学们布置了这样一道习题：一个正数的算术平方根为 $m + 2$，它的平方根为 $\pm(3m + 2)$，求这个正数.
小达的解法如下：
根据题意可知 $m + 2 = 3m + 2$，
解得 $m = 0$，则 $m + 2 = 2$.
$\therefore$ 这个正数为 $4$.
王老师看后说小达的解法不完整，请同学们给出这道习题完整的解法.
答案：根据题意可知 $m + 2$ 是 $3m + 2$，$-(3m + 2)$ 两个数中的一个.
①当 $m + 2 = 3m + 2$ 时，解得 $m = 0$，则 $m + 2 = 2$.
$\therefore$ 这个正数为 $2^{2}=4$；
②当 $m + 2 = -(3m + 2)$ 时，解得 $m = -1$，则 $m + 2 = 1$.
$\therefore$ 这个正数为 $1^{2}=1$.
综上可知，这个正数是 $4$ 或 $1$.
【解析】$m + 2$ 应是 $3m + 2$，$-(3m + 2)$ 两个数中的一个，应该分两种情况分别计算，所以小达的解法漏掉了一种情况.
方法点拨 本题涉及算术平方根与平方根的关系，需要进行分类讨论，这是解题的关键。

答案： 根据题意，$m + 2$ 是 $3m + 2$ 或 $-(3m + 2)$ 中的一个。
① 当 $m + 2 = 3m + 2$ 时，
解得 $m = 0$，
则 $m + 2 = 2$，
这个正数为 $2^{2} = 4$。
② 当 $m + 2 = -(3m + 2)$ 时，
$m + 2 = -3m - 2$，
$4m = -4$，
解得 $m = -1$，
则 $m + 2 = 1$，
这个正数为 $1^{2} = 1$。
综上，这个正数是 $4$ 或 $1$。

交警通常根据刹车后车轮滑行的距离来测算车辆行驶的速度，所用经验公式是 $v = 16\sqrt{df}$，其中 $v$ 表示车速（单位：$km/h$），$d$ 表示刹车距离（单位：$m$），$f$ 表示摩擦系数. 在一次交通事故中，测得 $d = 20m$，$f = 1.44$，发生交通事故的路段限速为 $80km/h$，那么肇事汽车是否超速行驶？
说明理由.（参考数据：$\sqrt{2}\approx1.4$，$\sqrt{5}\approx2.2$）

答案： 肇事汽车超速行驶.
理由：把d = 20,f = 1.44代入$v = 16\sqrt{df}$
中，解得v≈84.48 km/h＞80 km/h.
∴ 肇事汽车超速行驶.