《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

13. 阅读下列内容，并解决问题。
小明在学习“勾股定理”一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究。
习题再现：古希腊哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m²−1，c=m²+1，那么a、b、c为勾股数。你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？
资料搜集：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。一般地，若三角形的三边长a、b、c都是正整数，且满足a²+b²=c²，那么a、b、c称为一组勾股数。
关于勾股数的研究：我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了“勾三，股四，弦五”，这组数（3，4，5）是世界上最早发现的一组勾股数。毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究。习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数。世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》，其勾股数公式为：a=$\frac{1}{2}$(m²−n²)，b=mn，c=$\frac{1}{2}$(m²+n²)，其中m＞n，m、n是互质的奇数。（注：a、b、c的相同倍数组成的一组数也是勾股数）
（1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数。
（2）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数。

答案： 13.
(1)当 $m = 6$ 时,勾股数为 $12$,$35$,$37$.
(2)答案不唯一,例如 $(5,12,13)$,$(7,24,25)$等.