《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

12. 如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，E是CD的中点，若BC=5，AD=10，BE=$\frac{13}{2}$，求AB的长.

答案：
12. 如图，延长$BE$，交$AD$于点$F$.

$\because E$是$DC$的中点，
$\therefore DE=CE$.
$\because AB\perp BC,AB\perp AD$，
$\therefore AD// BC$.
$\therefore\angle D=\angle C$.
$\because\angle FED=\angle BEC$，
$\therefore\triangle BCE\cong\triangle FDE(ASA)$.
$\therefore DF=BC=5,BE=EF$.
$\therefore AF=10 - 5=5,BF=2BE=13$.
在$Rt\triangle ABF$中，根据勾股定理，得$AB=\sqrt{BF^2 - AF^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=12$.

13. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设运动的时间为t s.
（1）点P运动2s后，求CP和BP的长.
（2）t满足什么条件时（t的值或取值范围），△BCP为直角三角形？

答案：
13.
(1) $\because\angle C=90°,AB=5cm,BC=3cm$，
$\therefore AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4(cm)$.
如图1，$\because$动点$P$从点$C$开始以每秒$1cm$的速度运动，

$\therefore$出发$2s$后$CP=1×2=2(cm)$.
$\because\angle C=90°$，
$\therefore BP=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}(cm)$.
(2) ①设运动时间为$t s$.
$\because AC=4cm$，动点$P$从点$C$开始按$C\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C$的路径运动，且速度为每秒$1cm$，
$\therefore$当点$P$在$AC$上运动时，$\triangle BCP$为直角三角形，
$\therefore 0\lt t\leq4$.
②如图2，当点$P$在$AB$上，且$CP\perp AB$时，$\triangle BCP$为直角三角形.

$\because\frac{1}{2}AB\cdot CP=\frac{1}{2}AC\cdot BC$，
$\therefore\frac{1}{2}×5× CP=\frac{1}{2}×3×4$.
$\therefore CP=\frac{12}{5}cm$.
$\therefore AP=\sqrt{AC^2 - CP^2}=\frac{16}{5}(cm)$.
$\therefore AC+AP=4+\frac{16}{5}=\frac{36}{5}(cm)$.
$\therefore t=\frac{36}{5}÷1=\frac{36}{5}(s)$.
综上所述，当$0\lt t\leq4$或$t=\frac{36}{5}$时，$\triangle BCP$为直角三角形.