《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

12. 数学活动课上,老师准备了若干张如图 $1$ 所示的三种纸片,$A$ 种纸片是边长为 $a$ 的正方形,$B$ 种纸片是边长为 $b$ 的正方形,$C$ 种纸片是长为 $b$、宽为 $a$ 的长方形,并用 $A$ 种纸片一张,$B$ 种纸片一张,$C$ 种纸片两张拼成如图 $2$ 所示的大正方形.
(1) 若要拼出一个面积为 $(2a + b)(3a + 2b)$ 的矩形,则需要 $A$ 种卡片6张,$B$ 种卡片2张,$C$ 种卡片7张.
(2) 观察图 $2$,请你写出三个代数式 $(a + b)^2$,$a^2 + b^2$,$2ab$ 之间的等量关系:$(a+b)^{2}-(a^{2}+b^{2})=2ab$.
(3) 正方形 $ABCD$ 和正方形 $AEFG$ 如图 $3$ 摆放,边长分别为 $x$、$y$. 若 $x^2 + y^2 = 34$,$BE = 2$,求图中阴影部分的面积.

答案： 12.
(1)6 2 7
(2)$(a+b)^{2}-(a^{2}+b^{2})=2ab$
(3)
∵ $BE=2$,
∴ $x-y=2$.
∵ $(x+y)^{2}+(x-y)^{2}=2(x^{2}+y^{2})$,
∴ $(x+y)^{2}+4=2×34$.
∴ $(x+y)^{2}=64$.
∵ $x＞0,y＞0$,
∴ $x+y=8$,
∴ 阴影部分的面积
=$\frac{1}{2}BE·EF+\frac{1}{2}CD·DG$
=$\frac{1}{2}×2y+\frac{1}{2}x(x-y)$
=$x+y$
=$8$.

13. 我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》一书中提出了“杨辉三角”(如下图),此图揭示了 $(a + b)^n$ ($n$ 为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律.
例如:
$(a + b)^0 = 1$,它只有一项,系数为 $1$;
$(a + b)^1 = a + b$,它有两项,系数分别为 $1$,$1$,系数和为 $2$;
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$,它有三项,系数分别为 $1$,$2$,$1$,系数和为 $4$;
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$,它有四项,系数分别为 $1$,$3$,$3$,$1$,系数和为 $8$;
……
根据以上规律,解答下列问题:
(1) $(a + b)^4$ 展开式共有5项,系数分别为1,4,6,4,1.
(2) $(a + b)^n$ 展开式共有$(n+1)$项,系数和为$2^{n}$.

答案： 13.
(1)5 1,4,6,4,1
(2)$(n+1) 2^{n}$