《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

1. 我们已经学习了多项式与多项式相乘,相信下面的题你能算得又快又对.
(1) $(x + y)(x + y) =$ .
(2) $(m + n)(m + n) =$ .
(3) $(c + d)^2 =$ .
你有什么发现?
2. 根据你的发现猜想:
$(a + b)^2 =$ .

答案： 1.（1）$x^{2} + 2xy + y^{2}$；（2）$m^{2} + 2mn + n^{2}$；（3）$c^{2} + 2cd + d^{2}$；
2.$a^{2} + 2ab + b^{2}$。

1. 两数和的平方公式:
文字语言:两数和的平方,等于这两数的平方和加上它们的积的2倍.
符号语言: $(a + b)^2 =$ $a^{2}+2ab+b^{2}$.

答案： 1. 平方和 它们的积的2倍 $a^{2}+2ab+b^{2}$

2. 两数差的平方公式:
文字语言:两数差的平方,等于这两数的平方和减去它们的积的2倍.
符号语言: $(a - b)^2 =$ $a^{2}-2ab+b^{2}$.

答案： 2. 平方和 它们的积的2倍 $a^{2}-2ab+b^{2}$

例 1 计算: $(2x + 3y)^2 - (2x - 3y)^2$.
答案: $(2x + 3y)^2 - (2x - 3y)^2$
$= 4x^2 + 12xy + 9y^2 - (4x^2 - 12xy + 9y^2)$
$= 4x^2 + 12xy + 9y^2 - 4x^2 + 12xy - 9y^2$
$= 24xy$.
方法点拨 本题考查两数和(差)的平方公式、整式的加减,先根据两数和(差)的平方公式化简,再去括号合并同类项.

答案： $(2x + 3y)^2 - (2x - 3y)^2$
$= 4x^2 + 12xy + 9y^2 - (4x^2 - 12xy + 9y^2)$
$= 4x^2 + 12xy + 9y^2 - 4x^2 + 12xy - 9y^2$
$= 24xy$.

例 2 下面是王玲化简整式的过程,仔细阅读后完成所提出的问题:
$\begin{array}{l}(2x - 3y)^2 - (x - 2y)(x + 2y) \\= 4x^2 - 6xy + 3y^2 - x^2 + 2y^2 \quad 第一步 \\= 3x^2 - 6xy + y^2. \quad 第二步\end{array}$
(1) 任务一:王玲的计算过程,第一步开始出现错误,错误的原因是两数差的平方公式的后两项计算错误,平方差公式的 $(2y)^2$ 中的 $2$ 没计算平方.
(2) 任务二:请你帮助王玲把错误标注出来,再完成此题的正确解答过程.
(3) 任务三:请根据平时的学习经验,就整式化简的注意事项给同学们提出几点建议.(最少一点)
答案: (1) 一 两数差的平方公式的后两项计算错误,平方差公式的 $(2y)^2$ 中的 $2$ 没计算平方
(2) 标注错误如图所示:

$\begin{array}{l}(2x - 3y)^2 - (x - 2y)(x + 2y) \\= 4x^2 \boxed{-6xy + 3y^2} - x^2 + \boxed{2y^2} \quad 第一步 \\= 3x^2 - 6xy + y^2. \quad 第二步\end{array}$
正确的解答过程如下:
$(2x - 3y)^2 - (x - 2y)(x + 2y)$
$= 4x^2 - 12xy + 9y^2 - (x^2 - 4y^2)$
$= 4x^2 - 12xy + 9y^2 - x^2 + 4y^2$
$= 3x^2 - 12xy + 13y^2$.
(3) 建议:①计算两数和(差)的平方公式中的 $2ab$ 时,$2$ 倍不要丢;
②两个公式中单项式的平方,利用积的乘方计算时,要保证每一项都计算乘方.
方法点拨 本题考查两数和(差)的平方公式、平方差公式,解答本题的关键是掌握两数和(差)的平方公式及平方差公式.

答案：

(1) 一 两数差的平方公式的后两项计算错误,平方差公式的 $(2y)^2$ 中的 $2$ 没计算平方
(2) 标注错误如图所示:

$\begin{array}{l}(2x - 3y)^2 - (x - 2y)(x + 2y) \\= 4x^2 \boxed{-6xy + 3y^2} - x^2 + \boxed{2y^2} \quad 第一步 \\= 3x^2 - 6xy + y^2. \quad 第二步\end{array}$
正确的解答过程如下:
$(2x - 3y)^2 - (x - 2y)(x + 2y)$
$= 4x^2 - 12xy + 9y^2 - (x^2 - 4y^2)$
$= 4x^2 - 12xy + 9y^2 - x^2 + 4y^2$
$= 3x^2 - 12xy + 13y^2$.
(3) 建议:①计算两数和(差)的平方公式中的 $2ab$ 时,$2$ 倍不要丢;
②两个公式中单项式的平方,利用积的乘方计算时,要保证每一项都计算乘方.