《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

1.垂直于弦的直径______弦,并且平分弦______.

答案： 【解析】：
本题考查的是垂径定理的理解和应用。垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。这里需要填写的是垂径定理的两个主要性质，即垂直于弦的直径不仅平分弦，还要平分弦所对的优弧和劣弧。
【答案】：
平分；所对的两条弧。

2.平分弦(不是直径)的直径______,并且平分弦______.

答案： 【解析】：
本题考查了垂径定理的知识点。垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。在本题中，需要填写的是垂径定理的两个重要性质，即平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
【答案】：
垂直于弦；所对的两条弧。

例1 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 5,BC= 12,以C为圆心,AC为半径的圆交斜边于点D,求AD的长.
分析：遇到与弦有关的问题,常过圆心作垂直于弦的垂线.过点C作CE⊥AD,垂足为E.在直角三角形ABC中,求出CE的长,进而求出AE,AD的长.
解：过点C作CE⊥AD,垂足为E,则AE= DE.∵在Rt△ABC中,AC= 5,BC= 12,∴$AB= \sqrt{AC^2+BC^2}= 13$.又∵$\frac{1}{2}AC\cdot BC= \frac{1}{2}AB\cdot CE$,∴$CE= \frac{60}{13}$,∴在Rt△AEC中,$AE= \sqrt{AC^2-CE^2}= \frac{25}{13}$,$AD= 2AE= \frac{50}{13}$.

答案： 解：过点C作CE⊥AD，垂足为E，则AE=DE。
∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，
∴AB=√(AC²+BC²)=√(5²+12²)=13。
又
∵(1/2)AC·BC=(1/2)AB·CE，
∴CE=(AC·BC)/AB=(5×12)/13=60/13。
在Rt△AEC中，AE=√(AC²-CE²)=√(5²-(60/13)²)=√((25×169-3600)/169)=√(625/169)=25/13。
∴AD=2AE=2×(25/13)=50/13。

例2 已知AB,CD为⊙O的两条弦,且AB//CD,⊙O的半径为5,AB= 8,CD= 6,求AB,CD之间的距离.
分析：分两弦在圆心的同侧与异侧两种情况,利用垂径定理解决问题.
解：如图①,当AB,CD在圆心O的同一侧时,过点O作OE⊥AB,垂足为E,延长OE交CD于点F.∵AB//CD,∴OF⊥CD.由垂径定理得：$AE= \frac{1}{2}AB= 4$,$CF= \frac{1}{2}CD= 3$.在Rt△AEO中,$OE= \sqrt{OA^2-AE^2}= 3$,在Rt△CFO中,$OF= \sqrt{OC^2-CF^2}= 4$,∴EF= OF-OE= 4-3= 1.如图②,当AB,CD在圆心O的两侧时,过点O作OE⊥AB,垂足为E,反向延长OE交CD于点F,同(1)可得$OE= \sqrt{OA^2-AE^2}= 3$,$OF= \sqrt{OC^2-CF^2}= 4$,∴EF= OF+OE= 4+3= 7.
综上,AB,CD之间的距离为1或7.

答案： 解：分两种情况讨论：
情况一：当AB,CD在圆心O的同一侧时
过点O作OE⊥AB于点E，延长OE交CD于点F.
∵AB//CD，
∴OF⊥CD.
由垂径定理得：$AE=\frac{1}{2}AB=4$，$CF=\frac{1}{2}CD=3$.
在Rt△AEO中，$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
在Rt△CFO中，$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
∴AB,CD之间的距离$EF=OF-OE=4-3=1$.
情况二：当AB,CD在圆心O的两侧时
过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交CD于点F.
同理可得：$OE=3$，$OF=4$.
∴AB,CD之间的距离$EF=OF+OE=4+3=7$.
综上，AB,CD之间的距离为1或7.