《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

设⊙O的半径为r,圆心到直线l的距离为d.
(1)直线l与⊙O相交⇔______,此时直线与圆有______个公共点,直线叫做圆的______.
(2)直线l与⊙O相切⇔______,此时直线与圆有______个公共点,公共点叫做______点,直线叫做圆的______.
(3)直线l与⊙O相离⇔______,此时直线与圆有______个公共点.

答案： 【解析】：
本题考查的是直线与圆的位置关系。
(1) 当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即 $d \lt r$。
在这种情况下，直线会与圆有两个交点，因此直线被称为割线。
(2) 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，即 $d = r$。
在这种情况下，直线与圆只有一个交点，这个交点被称为切点，而这条直线被称为切线。
(3) 当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于圆的半径，即 $d \gt r$。
在这种情况下，直线与圆没有交点。
【答案】：
(1) $d \lt r$；2；割线
(2) $d = r$；1；切；切线
(3) $d \gt r$；0

例1 如图,在Rt△ABC中,∠A= 90°,∠C= 60°,BO= x,⊙O的半径为2.当x在什么范围内取值时,AB所在的直线与⊙O相交、相切、相离？

分析：过点O作AB的垂线OD,垂足为D,可求得$OD= \frac{x}{2}$,再根据位置关系得到数量关系,比较$\frac{x}{2}$与2的大小即可.
解：当0＜x＜4时,直线与⊙O相交；当x= 4时,直线与⊙O相切；当x＞4时,直线与⊙O相离.

答案： 【解析】：
本题考查了直线与圆的位置关系来解答的问题。
在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle A=90^\circ$，$\angle C=60^\circ$，$BO=x$，且圆$O$的半径为$2$。
需要找出$AB$所在的直线与圆$O$相交、相切、相离时$x$的取值范围。
过点$O$作$AB$的垂线$OD$，垂足为$D$。
由于$\angle C=60^\circ$，可以利用三角函数或者特殊角三角形的性质来找出$OD$与$x$的关系。
在$Rt \bigtriangleup BOD$中，由于$\angle B=30^\circ$（因为$\angle C=60^\circ$，且三角形内角和为$180^\circ$），
所以$OD=\frac{1}{2}BO=\frac{x}{2}$（利用$30^\circ-60^\circ-90^\circ$三角形的性质，即较短的直角边是斜边的一半）。
根据直线与圆的位置关系：
如果$OD＜2$，则直线$AB$与圆$O$相交。
如果$OD=2$，则直线$AB$与圆$O$相切。
如果$OD＞2$，则直线$AB$与圆$O$相离。
代入$OD=\frac{x}{2}$，得到：
当$\frac{x}{2}＜2$，即$x＜4$时，直线$AB$与圆$O$相交。
当$\frac{x}{2}=2$，即$x=4$时，直线$AB$与圆$O$相切。
当$\frac{x}{2}＞2$，即$x＞4$时，直线$AB$与圆$O$相离。
同时，由于$BO$是距离，所以$x＞0$。
【答案】：
当$0＜x＜4$时，直线$AB$与$\odot O$相交；
当$x=4$时，直线$AB$与$\odot O$相切；
当$x＞4$时，直线$AB$与$\odot O$相离。

例2 如图,⊙O的直径DE= 12 cm.在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,∠CBA= 30°,BC= 12 cm.⊙O以2 cm/s的速度从左向右移动,在运动过程中,点D,E始终在直线BC上.设运动的时间为t(单位：s),当t= 0时,⊙O在Rt△ABC的左侧,OC= 8 cm.当t为何值时,△ABC的一边所在的直线与⊙O相切？

分析：本题首先要考虑⊙O可以与△ABC的哪些边相切；再就是从左至右运动的过程中,可以在直线的左侧相切,也可以在直线的右侧相切.故分四种情况进行分类讨论.
解：当⊙O与AC在AC的左侧相切时,t= 1；当⊙O与AB在AB的左侧相切时,t= 4；当⊙O与AC在AC的右侧相切时,t= 7；当⊙O与AB在AB的右侧相切时,t= 16.
综上所述,当t为1 s,4 s,7 s,16 s时,△ABC的一边所在的直线与⊙O相切.

答案： 解：由题意，⊙O的半径$r = \frac{DE}{2} = 6$cm，运动速度为2 cm/s，$OC = 8$cm（$t=0$时）。
情况1：⊙O与AC在AC左侧相切
AC⊥BC，圆心O到AC的距离为$OC$。相切时$OC = r = 6$cm。
初始$OC = 8$cm，⊙O向右运动，移动距离为$8 - 6 = 2$cm。
$t = \frac{2}{2} = 1$s。
情况2：⊙O与AB在AB左侧相切
过O作OF⊥AB于F，则OF = r = 6cm。
在Rt△ABC中，∠CBA=30°，BC=12cm，AC=BC·tan30°= $4\sqrt{3}$cm，AB=8$\sqrt{3}$cm。
由面积法：$\frac{1}{2}AC·BC = \frac{1}{2}AB·h$（h为C到AB的距离），得$h = \frac{AC·BC}{AB} = 6$cm。
设此时OB = x，在Rt△OFB中，∠OBF=30°，OF = $\frac{1}{2}OB$，即$6 = \frac{1}{2}x$，x=12cm。
OB=12cm，BC=12cm，故OC=OB - BC=0cm。
初始OC=8cm，移动距离为8 - 0=8cm，$t = \frac{8}{2}=4$s。
情况3：⊙O与AC在AC右侧相切
圆心O到AC的距离为$OC$，此时OC = r=6cm（O在C右侧）。
移动距离为$8 + 6 = 14$cm，$t = \frac{14}{2}=7$s。
情况4：⊙O与AB在AB右侧相切
过O作OG⊥AB于G，则OG = r=6cm。
设此时OB = y，在Rt△OGB中，∠OBG=30°，OG = $\frac{1}{2}OB$，即$6 = \frac{1}{2}y$，y=12cm。
OB=12cm，BC=12cm，故OC=OB + BC=24cm。
移动距离为$8 + 24=32$cm，$t = \frac{32}{2}=16$s。
综上，t=1s或4s或7s或16s。
答：当t为1s，4s，7s，16s时，△ABC的一边所在直线与⊙O相切。