《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

1. 对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$(其中$a,b,c$是常数,且$a \neq 0$),当$x= $____时,函数$y$有最大(小)值,其最大(小)值等于____.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的性质，特别是二次函数的顶点坐标公式。
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a})$。
当$a ＞ 0$时，函数开口向上，顶点处取得最小值；
当$a ＜ 0$时，函数开口向下，顶点处取得最大值。
因此，当$x = -\frac{b}{2a}$时，函数$y$有最大（小）值，其最大（小）值等于顶点的$y$坐标，即$ \frac{4ac - b^2}{4a}$。
【答案】：
$x = -\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac - b^2}{4a}$

2. 对于二次函数$y = a(x - h)^2 + k$(其中$a,h,k$是常数,且$a \neq 0$),当$x= $____时,函数$y$有最大(小)值,最大(小)值等于____.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数顶点式的性质。对于二次函数$y = a(x - h)^2 + k$，其顶点坐标为$(h, k)$。由于二次函数的图像关于其对称轴对称，因此，当$a ＞ 0$时，函数图像开口向上，函数在$x = h$处取得最小值$k$；当$a ＜ 0$时，函数图像开口向下，函数在$x = h$处取得最大值$k$。
【答案】：
当$x = h$时，函数$y$有最大(小)值，最大(小)值等于$k$。

例 如图,把一张长10 cm,宽8 cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).你认为折成的长方体盒子的侧面积有最大值吗？如果有,请求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有,请说明理由.

分析：长方体盒子的侧面是四个小矩形,都是以正方形的边长为宽,以盒子的底面的长或宽为长.由此我们可列出关于侧面积和正方形边长的函数解析式,然后根据函数的性质来求出侧面积的最值.
解：设正方形的边长为$x\ cm$,盒子的侧面积为$y\ cm^2$,
$\therefore y = 2x(10 - 2x)+2x(8 - 2x)= -8\left(x - \dfrac{9}{4}\right)^2+\dfrac{81}{2}$(其中$0 ＜ x ＜ 4$),
$\therefore当x = 2.25$时,$y_{最大值}= 40.5$.
即剪去的正方形的边长为2.25 cm时,长方体盒子的侧面积最大,最大值为$40.5\ cm^2$.

答案： 解：设剪去的正方形的边长为$x\ cm$，盒子的侧面积为$y\ cm^2$。
根据题意，长方体盒子的侧面由两个长为$(10 - 2x)\ cm$、宽为$x\ cm$的矩形和两个长为$(8 - 2x)\ cm$、宽为$x\ cm$的矩形组成，因此侧面积：
$\begin{aligned}y&=2x(10 - 2x)+2x(8 - 2x)\\&=20x - 4x^2 + 16x - 4x^2\\&=-8x^2 + 36x\end{aligned}$
将函数化为顶点式：
$y=-8\left(x^2 - \frac{9}{2}x\right)=-8\left(x - \frac{9}{4}\right)^2 + \frac{81}{2}$
其中，自变量$x$的取值范围为$0 ＜ x ＜ 4$。
因为二次项系数$-8 ＜ 0$，所以该函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
当$x = \frac{9}{4} = 2.25$时，$y$取得最大值，$y_{最大值}=\frac{81}{2}=40.5$。
答：折成的长方体盒子的侧面积有最大值，最大值为$40.5\ cm^2$，此时剪去的正方形的边长为$2.25\ cm$。

1. 用一根长为6 dm的铁丝做成一个一条边长为$x\ dm$的矩形,设矩形的面积为$y\ dm^2$.
(1)求$y关于x$的函数解析式.
(2)当$x$为多少时,这个矩形的面积最大？

答案： 1.
(1)y=-x²+3x(0＜x＜3)
(2)$\frac{3}{2}$