《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

1.解一元二次方程——直接开平方法:形如$x^{2}= p或(nx+m)^{2}= p(p\geq0,n\neq0)$的一元二次方程可采用______的方法来解方程.如果方程能化成$x^{2}= p$的形式,那么可得______;如果方程能化成$(nx+m)^{2}= p(p\geq0,n\neq0)$的形式,那么______.

答案： 直接开平方；$x=\pm \sqrt{p}$；$nx+m=\pm \sqrt{p}$

2.对于方程$x^{2}= p$：
(1)当$p＞0$时,根据平方根的意义,方程______实数根,$x_{1}= $______,$x_{2}= $______.
(2)当$p= 0$时,方程______实数根,$x_{1}= x_{2}= $______.
(3)当$p＜0$时,方程______实数根.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程$x^2 = p$的解的情况，这取决于$p$的值。
(1) 当$p ＞ 0$时，根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，且互为相反数。
(2) 当$p = 0$时，$0的平方根只有一个，即0$。
(3) 当$p ＜ 0$时，$负数没有实数平方根$。
【答案】：
(1) 当$p＞0$时，根据平方根的意义，方程$有两个不相等的实数根$，$x_{1}= \sqrt{p}$，$x_{2}= -\sqrt{p}$。
(2) 当$p= 0$时，方程$有两个相等的实数根$，$x_{1}= x_{2}= 0$。
(3) 当$p＜0$时，方程$没有实数根$。

3.直接开平方法的依据是______.

答案： 平方根的定义

例1 解方程$(3x-1)^{2}= 25$.
分析:根据平方根的意义,结合教材中解方程$x^{2}= 25$的过程,由$(3x-1)^{2}= 25$开方,得到$3x-1= 5或3x-1= -5$两个一元一次方程,进而可以得到方程$(3x-1)^{2}= 25$的解.注意体会类比、转化、降次的数学思想方法.一般地,形如$(nx+m)^{2}= p(p\geq0,n\neq0)$的方程,都可以通过直接开平方的方法,得到两个一元一次方程,进而得到一元二次方程的解.
解:根据平方根的意义,得$3x-1= \pm5$,即$3x-1= 5或3x-1= -5$.
$\therefore 3x= 1+5或3x= 1-5$,即$3x= 6或3x= -4$,解得$x_{1}= 2$,$x_{2}= -\frac{4}{3}$.

答案： 解：根据平方根的意义，得$3x - 1 = \pm5$，即$3x - 1 = 5$或$3x - 1 = -5$。
当$3x - 1 = 5$时，$3x = 1 + 5$，$3x = 6$，解得$x = 2$；
当$3x - 1 = -5$时，$3x = 1 - 5$，$3x = -4$，解得$x = -\frac{4}{3}$。
$\therefore x_{1} = 2$，$x_{2} = -\frac{4}{3}$。

例2 已知一元二次方程$mx^{2}+n= 0(m\neq0)$,若方程可以用直接开平方法求解,且有两个不相等的实数根,则$m,n$必须满足的条件是( ).
A.$n= 0$
B.$m,n$异号
C.$n是m$的整数倍
D.$m,n$同号
分析:根据一元二次方程$mx^{2}+n= 0(m\neq0)$可以用直接开平方法求解,且有两个不相等的实数根,得出$-\frac{n}{m}＞0$,即可得出$m,n$的符号关系.
解:$\because一元二次方程mx^{2}+n= 0(m\neq0)$可以用直接开平方法求解,且有两个不相等的实数根,
$\therefore x^{2}= -\frac{n}{m}$,$-\frac{n}{m}＞0$,$\therefore m,n必须满足的条件是m,n$异号,故选B.

答案： 【解析】：
根据题目条件，一元二次方程$mx^{2}+n= 0(m\neq0)$可以用直接开平方法求解，且有两个不相等的实数根。
这意味着方程$x^{2}=-\frac{n}{m}$的右边必须是一个正数，因为负数没有实数平方根。
因此，$-\frac{n}{m}＞0$，即$m$和$n$的符号相反。
A选项：$n=0$，则方程变为$mx^{2}=0$，此时方程有两个相等的实数根，与题目条件不符，故A错误。
B选项：$m,n$异号，满足$-\frac{n}{m}＞0$，故B正确。
C选项：$n$是$m$的整数倍，这个条件并不能保证$-\frac{n}{m}＞0$，故C错误。
D选项：$m,n$同号，这与$-\frac{n}{m}＞0$矛盾，故D错误。
所以，$m,n$必须满足的条件是$m,n$异号。
【答案】：
B