《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

9.等腰三角形ABC的三边分别为a,b,c,其中a= 5,若关于x的方程$x^{2}+(b+2)x+6-b= 0$有两个相等的实数根,则$\triangle ABC$的周长是( ).

A.9
B.12
C.9或12
D.不能确定

答案： B

10.已知$x_{1},x_{2}$是关于x的方程$x^{2}-2kx+k^{2}-k+1= 0$的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)若$k＜5$,且k,$x_{1},x_{2}$都是整数,求k的值.

答案：
(1)
∵x₁,x₂ 是关于 x 的方程 x²-2kx+k²-k+1=0 的两个不相等的实数根,
∴Δ＞0,
Δ=(-2k)²-4×1×(k²-k+1)=4k²-4k²+4k-4=4k-4＞0,
解得 k＞1.
(2)
∵k＜5,由
(1)得 k＞1,
∴1＜k＜5,
∴整数 k 的值有 2,3,4.
当 k=2 时,方程为 x²-4x+3=0,
解得 x₁=1,x₂=3(都是整数,此情况符合题意);
当 k=3 时,方程为 x²-6x+7=0,
解得 x=3±√2(不是整数,此情况不符合题意);
当 k=4 时,方程为 x²-8x+13=0,
解得 x=4±√3(不是整数,此情况不符合题意);
综上所述,k 的值为 2.

11.已知a,b,c分别是三角形的三边,试判断方程$(a+b)x^{2}+2cx+(a+b)= 0$的根的情况.

答案：
∵Δ=(2c)²-4(a+b)²=4[c²-(a+b)²]=4(c+a+b)(c-a-b),根据三角形三边的关系,得c-a-b＜0,a+b+c＞0,
∴Δ＜0,
∴该方程没有实数根.

12.关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a\neq0)$,下列说法中正确的是( ).
①若$a+c= 0$,则方程$ax^{2}+bx+c= 0$一定有实数根.
②若$b^{2}+4ac＜0$,则方程$ax^{2}+bx+c= 0$一定有实数根.
③若$a-b+c= 0$,则方程$ax^{2}+bx+c= 0$一定有两个不等实数根.
④若方程$ax^{2}+bx+c= 0$有两个实数根,则方程$cx^{2}+bx+a= 0$一定有两个实数根.

A.①②
B.①③
C.②③
D.①③④

答案： ①
∵a+c=0,
∴a=-c,
∴b²-4ac=b²+4c²≥0,故方程有实数根,故①正确.
②
∵b²+4ac＜0,
∴4ac＜0,
∴-4ac＞0,
∴b²-4ac＞0,故方程 ax²+bx+c=0 一定有实数根,故②正确.
③
∵a-b+c=0,
∴b=a+c,
∴b²-4ac=(a+c)²-4ac=(a-c)²≥0,故方程有实数根,但不一定有两个不等的实数根,故③错误.
④当方程 ax²+bx+c=0 有两个实数根时,c 可能等于 0,当 c=0 时,方程 cx²+bx+a=0 会变为一元一次方程,此时只有一个实数根,故④错误.
故选 A.