《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

5.二次函数$y= ax^{2}+4x + a$的最大值是3,则$a=$-1.

答案： -1

6.用一根长度为$a$的绳子围成一个矩形,请你求出这个矩形的最大面积$y_{1}$；若用这根绳子围成一个圆,设这个围成的圆的面积为$y_{2}$,请判断$y_{1}和y_{2}$的大小,并说明原因.

答案： y1=frac{a²}{16},y1＜y2(理由略)

7.已知二次函数$y= -x^{2}+4x - 3$.
(1)若$-3≤ x≤3$,则$y$的取值范围为-24≤y≤1(直接写出结果).
(2)若$-8≤ y≤-3$,则$x$的取值范围为-1≤x≤0或4≤x≤5(直接写出结果).
(3)若点$A(m,y_{1})$,$B(m + 1,y_{2})$都在该函数的图象上,且$y_{1}＜y_{2}$,则$m$的取值范围为m＜frac{3}{2}(直接写出结果).

答案： 1. （1）
先将二次函数$y = -x^{2}+4x - 3$化为顶点式：
根据顶点式公式$y=a(x - h)^{2}+k$（$a≠0$），$y=-x^{2}+4x - 3=-(x^{2}-4x + 3)=-(x^{2}-4x + 4 - 1)=-(x - 2)^{2}+1$。
其中$a=-1＜0$，对称轴为$x = 2$。
当$x = 2$时，$y$有最大值$y = 1$。
当$x=-3$时，$y=-(-3)^{2}+4×(-3)-3=-9 - 12 - 3=-24$；当$x = 3$时，$y=-3^{2}+4×3 - 3=-9 + 12 - 3 = 0$。
因为$-24＜0$，所以当$-3≤ x≤3$时，$y$的取值范围是$-24≤ y≤1$。
2. （2）
令$y=-8$，则$-x^{2}+4x - 3=-8$，即$x^{2}-4x - 5 = 0$。
根据一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a = 1$，$b=-4$，$c=-5$）的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×1×(-5)=16 + 20 = 36$，$x=\frac{4\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{4\pm6}{2}$。
解得$x_{1}=5$，$x_{2}=-1$。
令$y=-3$，则$-x^{2}+4x - 3=-3$，即$x^{2}-4x = 0$，$x(x - 4)=0$，解得$x = 0$或$x = 4$。
因为$a=-1＜0$，二次函数图象开口向下，所以当$-8≤ y≤-3$时，$x$的取值范围是$-1≤ x≤0$或$4≤ x≤5$。
3. （3）
因为$y_{1}=-m^{2}+4m - 3$，$y_{2}=-(m + 1)^{2}+4(m + 1)-3=-m^{2}-2m - 1+4m + 4 - 3=-m^{2}+2m$。
又因为$y_{1}＜ y_{2}$，所以$-m^{2}+4m - 3＜ -m^{2}+2m$。
移项可得$-m^{2}+4m - 3+m^{2}-2m＜0$，即$2m-3＜0$。
解得$m＜\frac{3}{2}$。
故答案依次为：（1）$-24≤ y≤1$；（2）$-1≤ x≤0$或$4≤ x≤5$；（3）$m＜\frac{3}{2}$。

8.如图,二次函数$y= ax^{2}+bx + c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3$,顶点坐标为$(-1,4)$,则下列说法正确的是(D).
A.该二次函数的图象的对称轴是直线$x = 1$
B.该二次函数的图象与$x$轴的另一个交点的横坐标是2
C.当$x＜-1$时,$y随x$的增大而减小
D.该二次函数的图象与$y$轴的交点的纵坐标是3

答案： D

9.在平面直角坐标系$xOy$中,已知抛物线$y= ax^{2}-2a^{2}x(a\neq0)$.
(1)当$a = 1$时,求抛物线的顶点坐标.
(2)已知$M(x_{1},y_{1})和N(x_{2},y_{2})$是抛物线上的两点.若当$x_{1}= 3a$,$3\leqslant x_{2}\leqslant4$时,都有$y_{1}＜y_{2}$,求$a$的取值范围.

答案：

(1)把a=1代入y=ax²-2a²x,得y=x²-2x=(x-1)²-1,
∴抛物线的顶点坐标为(1,-1).
(2)抛物线的对称轴是直线x=-frac{-2a²}{2a}=a,分两种情况:①当a＞0时,抛物线如图所示.
∵x1=3a,3≤x2≤4,y1＜y2,
∴3a＜3,
∵a＞0,
∴0＜a＜1.②当a＜0时,抛物线如图所示.
∵x1=3a,3≤x2≤4,y1＜y2,
∴-a＞4,
∵a＜0,
∴a＜-4.综上所述,a的取值范围为0＜a＜1或a＜-4.