《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

1. 圆锥的侧面展开图是一个____形,其半径等于圆锥的____,弧长等于圆锥底面圆的____.

答案： 【解析】：
本题主要考察圆锥的几何特性以及其侧面展开图的形状和相关参数。圆锥的侧面展开后呈现为一个扇形，这个扇形的半径与圆锥的母线长度相等，扇形的弧长则与圆锥底面的周长相等。
【答案】：
圆锥的侧面展开图是一个扇形,其半径等于圆锥的母线长,弧长等于圆锥底面圆的周长。

2. 若圆锥的底面半径为$ r $,母线长为$ l $,则它的侧面积$ S_{侧}= $____,即$ S_{侧}= $____,则$ S_{全}= $____.

答案： 【解析】：
本题考查圆锥的侧面积和全面积的计算公式。
对于圆锥，其侧面积 $S_{侧}$ 可以用底面半径 $r$ 和母线长 $l$ 来表示。
圆锥的侧面积公式为：$S_{侧} = \pi r l$，
圆锥的全面积 $S_{全}$ 是侧面积与底面积之和。
底面积 $S_{底} = \pi r^{2}$，
因此，全面积 $S_{全} = S_{侧} + S_{底} = \pi r l + \pi r^{2}$。
【答案】：
$S_{侧} = \pi r l$；
$\pi r l$；
$S_{全} = \pi r l + \pi r^{2}$。

例1 一个圆锥的轴截面是一个正三角形,则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于( ).
A.$ 60^\circ $
B.$ 90^\circ $
C.$ 120^\circ $
D.$ 180^\circ $
分析：利用扇形的弧长等于圆锥底面周长,列方程求解.
解：设底面圆的半径为$ r $,则圆锥的母线长为$ 2r $,底面周长$ =2\pi r $,侧面展开图是个扇形,圆心角为$ n^\circ $,弧长$ =2\pi r= \frac{n\pi \cdot 2r}{180} $,所以$ n= 180 $.故选D.

答案： 解：设底面圆的半径为$r$，
∵圆锥的轴截面是正三角形，
∴圆锥的母线长为$2r$，底面周长为$2\pi r$。
设侧面展开图的圆心角为$n^\circ$，
∵侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长，
∴$2\pi r = \frac{n\pi \cdot 2r}{180}$，
解得$n = 180$。
故选D。

例2 如图,圆锥底面半径$ OA= 10\ cm $,母线$ PA= 40\ cm $.由底面圆周上一点$ A $出发绕其侧面一周的最短路线长度是多少？

分析：把圆锥的侧面展开,点$ A 的对应点为 A' $,则线段$ AA' $最短.
解：设展开图中扇形的圆心角为$ n^\circ $,$\frac{n\pi × 40}{180}= 2\pi × 10$,$ n= 90 $,$\therefore \triangle APA' $为等腰直角三角形,$ AA'= \sqrt{40^2 + 40^2}= 40\sqrt{2}\ cm $,即最短路程长度为$ 40\sqrt{2}\ cm $.

答案： 【解析】：本题主要考查圆锥侧面展开图的性质以及勾股定理的应用。
圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。
已知圆锥底面半径$OA = 10cm$，根据圆的周长公式$C = 2\pi r$（其中$C$为周长，$r$为半径），可得圆锥底面的周长为$2\pi×10 = 20\pi cm$。
设展开图中扇形的圆心角为$n^{\circ}$，扇形的半径（即圆锥母线）$PA = 40cm$，根据扇形的弧长公式$l=\frac{n\pi R}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径），可得$\frac{n\pi×40}{180}=20\pi$。
求解上述方程可得$n = 90$，即展开图中扇形的圆心角为$90^{\circ}$。
把圆锥的侧面展开后，点$A$的对应点为$A'$，绕侧面一周的最短路线就是线段$AA'$。
由于$\angle APA' = 90^{\circ}$，$PA = PA' = 40cm$，所以$\triangle APA'$为等腰直角三角形。
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），在$\triangle APA'$中，$AA'=\sqrt{40^{2}+40^{2}} = 40\sqrt{2}cm$。
【答案】：解：设展开图中扇形的圆心角为$n^{\circ}$，圆锥底面半径$OA = 10cm$，则底面周长为$2\pi×10 = 20\pi cm$，母线$PA = 40cm$。
由$\frac{n\pi×40}{180}=20\pi$，
解得$n = 90$。
$\because\angle APA' = 90^{\circ}$，$PA = PA' = 40cm$，
$\therefore$在$Rt\triangle APA'$中，根据勾股定理$AA'=\sqrt{40^{2}+40^{2}} = 40\sqrt{2}(cm)$。
答：最短路程长度为$40\sqrt{2}cm$。

1. 某校九年级学生参加社会实践,学习编织一种外观为圆锥的工艺品.若圆锥的母线长为$ 40\ cm $,底面圆的半径为$ 30\ cm $,则圆锥的侧面积为( ).

A.$ 700\pi\ cm^2 $
B.$ 900\pi\ cm^2 $
C.$ 1200\pi\ cm^2 $
D.$ 1600\pi\ cm^2 $

答案： C