《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

8. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣.”“割圆术”孕育了微积分思想,刘徽用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416.如图,⊙O的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形的面积近似估计⊙O的面积,可得π的估计值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,若用圆内接正十二边形近似估计,可得π的估计值为(C).

A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{2}$
C.3
D.$2\sqrt{3}$

答案： C

9. 如图,五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,对角线AC,BD相交于点P,试说明下列结论是否成立：①∠BAC= 36°；②PB= PC；③四边形APDE为菱形.

答案： 结论均成立.解析:
∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠ABC=(5-2)×180°÷5=108°.
∵AB=BC,
∴∠BAC=1/2(180°-∠ABC)=1/2(180°-108°)=36°.同理:∠PBC=∠PCB=36°,
∴PB=PC.
∵∠PBC=∠PCB=36°,
∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=108°-36°=72°,∠APD=∠ABP+∠BAC=72°+36°=108°=∠E,∠EAP=∠EDP=108°-36°=72°,
∴四边形APDE是平行四边形,又
∵AE=DE,
∴平行四边形APDE是菱形.

10. 如图①、图②、图③,正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形.点M,N分别从点B,C开始,以相同的速度在⊙O上逆时针运动.连接AM,BN交于点P.
(1)求图①中∠APB的度数.
(2)图②中,∠APB的度数是90°；图③中,∠APB的度数是72°.
(3)根据前面的探索,你能否将本题推广到一般的正n边形的情况？若能,写出推广问题和结论；若不能,请说明理由.
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°.
∵点M,N分别从点B,C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动,
∴∠BAM=∠CBN.又
∵∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°,
∴∠APB=180°-∠APN=120°.
(3)问题:正n边形ABCD…是⊙O的内接n边形,点M,N分别从点B,C开始,以相同的速度在⊙O上逆时针运动,AM,BN相交于点P,求∠APB的度数.结论:∠APB=360°/n.

答案：
(1)
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°.
∵点M,N分别从点B,C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动,
∴∠BAM=∠CBN.又
∵∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°,
∴∠APB=180°-∠APN=120°.
(2)图②中∠APB=90°,图③中∠APB=72°.
(3)问题:正n边形ABCD…是⊙O的内接n边形,点M,N分别从点B,C开始,以相同的速度在⊙O上逆时针运动,AM,BN相交于点P,求∠APB的度数.结论:∠APB=360°/n.