《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

9. 如图,C为半圆内一点,O为圆心,直径AB长为2 cm,∠BOC= 60°,∠BCO= 90°.将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△$B'OC'$,点$C'$在OA上,求边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积.

答案： 根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案:S阴影 = S扇形B'OB + S△B'C'O - S△BCO - S扇形C'OC = S扇形B'OB - S扇形C'OC = $\frac{1}{3}$π - $\frac{1}{12}$π = $\frac{1}{4}$π.

10. 如图,直线AB经过⊙O上一点C,且OA= OB,CA= CB.
(1)求证：直线AB是⊙O的切线.
(2)若⊙O的半径为4,∠B= 30°,求阴影部分的面积.

答案：

(1)证明:连接OC，　　　　　　
∵在△OAB中,OA = OB,CA = CB,
∴OC⊥AB,又
∵OC是⊙O的半径，
∴直线AB是⊙O的切线.
(2)由
(1)知∠OCB = 90°,
∵∠B = 30°,
∴∠COB = 90° - 30° = 60°,S扇形OCD = $\frac{60π·4²}{360}$ = $\frac{8π}{3}$,在Rt△OCB中,∠B = 30°,OC = 4,
∴OB = 8,BC = $\sqrt{OB² - OC²}$ = $\sqrt{8² - 4²}$ = 4$\sqrt{3}$ S△OCB = $\frac{1}{2}$BC·OC = $\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×4 = 8$\sqrt{3}$,S阴影 = S△OCB - S扇形OCD = 8$\sqrt{3}$ - $\frac{8π}{3}$.

11. 综合与实践.
【主题】滤纸与漏斗.
【素材】如图①所示：一张直径为10 cm的圆形滤纸,一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】按如图②所示步骤折叠好滤纸.将其中一层撑开,围成圆锥,放入如图①所示的漏斗中.

【实践探索】
(1)滤纸能否紧贴漏斗内壁(忽略漏斗管口)？用你所学的数学知识说明.
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成的圆锥的体积.(结果保留π)

答案：
(1)能.理由:设圆锥展开图的扇形圆心角为n°,根据题意，得$\frac{nπ×7}{180}$ = 7π，解得n = 180,将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁.
(2)设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为r cm,高为h cm,根据题意，得2πr = $\frac{180π×5}{180}$，解得r = $\frac{5}{2}$,h = $\sqrt{5² - (\frac{5}{2})²}$ = $\frac{5}{2}\sqrt{3}$,圆锥的体积为$\frac{1}{3}$πr²h = $\frac{1}{3}$π×($\frac{5}{2}$)²×$\frac{5}{2}\sqrt{3}$ = $\frac{125}{24}\sqrt{3}$(cm³).