《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

1.在二次函数$y = ax^{2}+bx + c$中,当$a＞0$时,抛物线的开口______,对称轴是______,顶点坐标为______,顶点是抛物线的最______点；当$x= $______时,函数有最______值为______；当$x$______时,$y随x$的增大而增大,当$x$______时,$y随x$的增大而减小.

答案： 【解析】：
这是一个关于二次函数基本性质的题目，主要考察二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值以及函数的增减性。这些性质都由二次函数的系数$a$，$b$，$c$决定。
当$a＞0$时，抛物线开口向上；
二次函数的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$；
顶点的$x$坐标为$-\frac{b}{2a}$，将$x=-\frac{b}{2a}$代入原函数，可得顶点的$y$坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，所以顶点坐标为$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$；
由于抛物线开口向上，所以顶点是抛物线的最低点；
当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取得最小值，最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$；
当$x＞-\frac{b}{2a}$时，函数值$y$随$x$的增大而增大；
当$x＜-\frac{b}{2a}$时，函数值$y$随$x$的增大而减小。
【答案】：
在二次函数$y = ax^{2} + bx + c$中，当$a ＞ 0$时，抛物线的开口向上，对称轴是$x = -\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a}\right)$，顶点是抛物线的最低点；
当$x = -\frac{b}{2a}$时，函数有最小值为$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$；
当$x ＞ -\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x ＜ -\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小。

2.在二次函数$y = ax^{2}+bx + c$中,当$a＜0$时,抛物线的开口______,对称轴是______,顶点坐标为______,顶点是抛物线的最______点；当$x= $______时,函数有最______值为______；当$x$______时,$y随x$的增大而增大,当$x$______时,$y随x$的增大而减小.

答案： 解：向下；直线$x=-\dfrac{b}{2a}$；$\left(-\dfrac{b}{2a}, \dfrac{4ac - b^{2}}{4a}\right)$；高；$-\dfrac{b}{2a}$；大；$\dfrac{4ac - b^{2}}{4a}$；$＜-\dfrac{b}{2a}$；$＞-\dfrac{b}{2a}$

例1 已知二次函数$y= -3x^{2}-6x + 8$,当$-3\leqslant x\leqslant5$时,求它的最大值和最小值.
分析：对于一般的二次函数,自变量的取值范围是全体实数,一般只有最大值无最小值或只有最小值无最大值.但对于自变量有取值范围限制的二次函数而言,有可能既有最大值也有最小值.
解：$y= -3x^{2}-6x + 8= -3(x^{2}+2x)+8= -3(x^{2}+2x + 1-1)+8= -3(x + 1)^{2}+11$.
$\therefore当x= -1$时,$y_{最大值}= 11$；当$x = 5$时,$y_{最小值}= -97$.

答案： 解：$y=-3x^{2}-6x + 8$
$=-3(x^{2}+2x)+8$
$=-3(x^{2}+2x + 1-1)+8$
$=-3(x + 1)^{2}+11$
二次函数开口向下，对称轴为直线$x=-1$。
当$x=-1$时，$y_{最大值}=11$；
当$x=5$时，$y=-3×(5 + 1)^{2}+11=-3×36 + 11=-108 + 11=-97$；
当$x=-3$时，$y=-3×(-3 + 1)^{2}+11=-3×4 + 11=-12 + 11=-1$。
因为$-97\lt -1$，所以当$x=5$时，$y_{最小值}=-97$。
综上，当$-3\leqslant x\leqslant5$时，函数的最大值为$11$，最小值为$-97$。

例2 右图是二次函数$y= ax^{2}+bx + c$的图象的一部分,图象过点$A(-3,0)$,对称轴为直线$x= -1$,给出四个结论：①$c＞0$；②$2a - b= 0$；③$\dfrac{4ac - b^{2}}{4a}＜0$；④若点$B\left(-\dfrac{3}{2},y_{1}\right)$,$C\left(-\dfrac{5}{2},y_{2}\right)$为函数图象上的两点,则$y_{1}＜y_{2}$.其中,正确的结论有( ).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
分析：本题考查了二次函数的图象与系数的关系,要特别注意数形结合的数学思想.
解：由抛物线交$y$轴于正半轴,得$c＞0$,故①正确；
$\because对称轴为直线x= -1$,$\therefore-\dfrac{b}{2a}= -1$,即$2a - b= 0$,故②正确；
$\because$由函数图象可知抛物线的顶点在第二象限,$\therefore\dfrac{4ac - b^{2}}{4a}＞0$,故③错误；
点$B到对称轴的距离小于点C$到对称轴的距离,且抛物线开口向下,$y_{1}＞y_{2}$,故④错误.
综上所述,正确的结论是①②,有2个.故选B.

答案： 【解析】：本题考查二次函数的图象与系数的关系。
对于结论①：
抛物线交$y$轴于正半轴，即当$x = 0$时，$y=c\gt0$，所以结论①正确。
对于结论②：
已知对称轴为直线$x = - 1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=-1$。
等式两边同时乘以$-2a$，得到$b = 2a$，移项可得$2a - b = 0$，所以结论②正确。
对于结论③：
由函数图象可知抛物线的顶点在第二象限，因为抛物线开口向下，所以$a\lt0$，且顶点的纵坐标大于$0$。
二次函数顶点纵坐标公式为$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，所以$\frac{4ac - b^{2}}{4a}\gt0$，而不是$\frac{4ac - b^{2}}{4a}\lt0$，故结论③错误。
对于结论④：
点$B\left(-\frac{3}{2},y_{1}\right)$到对称轴$x = - 1$的距离为$\vert-\frac{3}{2}-(-1)\vert=\vert-\frac{3}{2}+1\vert=\frac{1}{2}$。
点$C\left(-\frac{5}{2},y_{2}\right)$到对称轴$x = - 1$的距离为$\vert-\frac{5}{2}-(-1)\vert=\vert-\frac{5}{2}+1\vert=\frac{3}{2}$。
因为抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，且点$B$到对称轴的距离小于点$C$到对称轴的距离，所以$y_{1}\gt y_{2}$，而不是$y_{1}\lt y_{2}$，故结论④错误。
综上，正确的结论是①②，有$2$个，答案选B。
【答案】：B