《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a\neq0)的根的情况与判别式\Delta =b^{2}-4ac$的值有如下关系：
(1)当______,方程有两个不等的实数根.
(2)当______,方程有两个相等的实数根.
(3)当______,方程没有实数根.

答案： 【解析】：
本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系。对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a\neq0)$，其判别式为$\Delta =b^{2}-4ac$。
(1) 当$\Delta ＞ 0$时，即$b^{2}-4ac ＞ 0$，方程有两个不等的实数根。
(2) 当$\Delta = 0$时，即$b^{2}-4ac = 0$，方程有两个相等的实数根。
(3) 当$\Delta ＜ 0$时，即$b^{2}-4ac ＜ 0$，方程没有实数根。
【答案】：
(1) $\Delta ＞ 0$
(2) $\Delta = 0$
(3) $\Delta ＜ 0$

例1 下列方程有实数根的是( ).
A.$x^{2}-x-1= 0$
B.$x^{2}+x+1= 0$
C.$x^{2}-6x+10= 0$
D.$x^{2}-\sqrt{2}x+1= 0$
分析：判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式$\Delta =b^{2}-4ac$的值的符号就可以了.一元二次方程有实数根即判别式大于或等于0.
解：A选项中$\Delta =1-4×1×(-1)= 5＞0$,则方程有实数根,故正确；B选项中$\Delta =1-4×1×1= -3＜0$,则方程无实数根,故错误；C选项中$\Delta =36-4×1×10= -4＜0$,则方程无实数根,故错误；D选项中$\Delta =2-4×1×1= -2＜0$,则方程无实数根,故错误.故选A.

答案： 【解析】：
题目考查了一元二次方程的根的判别式$\Delta =b^{2}-4ac$的应用。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$，若$\Delta \geq 0$，则方程有实数根；若$\Delta \lt 0$，则方程无实数根。
需要分别计算每个选项中方程的判别式$\Delta$的值，根据其值的正负来判断方程是否有实数根。
A选项：对于方程$x^{2}-x - 1 = 0$，其中$a = 1$，$b = -1$，$c = -1$，则$\Delta =b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×1×(-1)=1 + 4 = 5\gt 0$，所以该方程有实数根。
B选项：对于方程$x^{2}+x + 1 = 0$，其中$a = 1$，$b = 1$，$c = 1$，则$\Delta =b^{2}-4ac=1^{2}-4×1×1=1 - 4 = -3\lt 0$，所以该方程无实数根。
C选项：对于方程$x^{2}-6x + 10 = 0$，其中$a = 1$，$b = -6$，$c = 10$，则$\Delta =b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×1×10=36 - 40 = -4\lt 0$，所以该方程无实数根。
D选项：对于方程$x^{2}-\sqrt{2}x + 1 = 0$，其中$a = 1$，$b = -\sqrt{2}$，$c = 1$，则$\Delta =b^{2}-4ac=(-\sqrt{2})^{2}-4×1×1=2 - 4 = -2\lt 0$，所以该方程无实数根。
【答案】：
A

例2 关于x的方程$ax^{2}-3x-1= 0$有实数根,则a的取值范围是______.
分析：由于关于x的方程$ax^{2}-3x-1= 0$有实数根,所以分两种情况：
(1)当$a= 0$时,方程为$-3x-1= 0$,此时一定有解.
(2)当$a\neq0$时,方程为一元二次方程,那么它的判别式的值是一个非负数,由此即可求出a的取值范围.
解：当$a= 0$时,方程为$-3x-1= 0$,此时一定有解.
当$a\neq0$时,方程为一元二次方程,方程有实数根则$\Delta =9+4a\geq0$.
$\therefore a\geq-\frac{9}{4}且a\neq0$.
综合两种情况,a的取值范围是$a\geq-\frac{9}{4}$.

答案： 解：当$a = 0$时，方程为$-3x - 1 = 0$，有实数根。
当$a \neq 0$时，方程为一元二次方程，$\Delta = (-3)^2 - 4 × a × (-1) = 9 + 4a$。
方程有实数根，则$\Delta \geq 0$，即$9 + 4a \geq 0$，解得$a \geq -\frac{9}{4}$。
综上，$a$的取值范围是$a \geq -\frac{9}{4}$。