《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

1.关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c= 0,$若$b^2-4ac＞0,$则抛物线$y= ax^2+bx+c$与x轴的交点有______个;若$b^2-4ac= 0,$则抛物线$y= ax^2+bx+c$与x轴的交点有______个;若$b^2-4ac＜0,$则抛物线$y= ax^2+bx+c$与x轴的交点有______个.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数与一元二次方程的关系，特别是判别式$b^2-4ac$对二次函数与x轴交点个数的影响。
当$b^2-4ac＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根，即抛物线$y= ax^2+bx+c$与x轴有两个交点。
当$b^2-4ac= 0$时，一元二次方程有两个相等的实数根，即抛物线$y= ax^2+bx+c$与x轴有一个交点。
当$b^2-4ac＜0$时，一元二次方程没有实数根，即抛物线$y= ax^2+bx+c$与x轴没有交点。
【答案】：
2；1；0

2.关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c= 0$的两个实数根分别为$x_1,x_2,$则抛物线$y= ax^2+bx+c$与x轴的交点坐标分别为______,两个交点之间的距离为______,对称轴为直线______.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数与一元二次方程的关系，特别是二次函数与x轴的交点、交点之间的距离以及对称轴的计算。
首先，由于$x_1$和$x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+c= 0$的两个实数根，根据二次函数的性质，这意味着抛物线$y= ax^2+bx+c$与x轴的交点横坐标分别为$x_1$和$x_2$。因此，交点坐标分别为$(x_1, 0)$和$(x_2, 0)$。
其次，两个交点之间的距离可以通过计算两根之间的距离得到，即$|x_1 - x_2|$。
最后，对于二次函数$y= ax^2+bx+c$，其对称轴的方程为$x = -\frac{b}{2a}$。由于$x_1$和$x_2$是方程的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系，有$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。因此，对称轴的方程也可以表示为$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$。
【答案】：
关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c= 0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$，则抛物线$y= ax^2+bx+c$与x轴的交点坐标分别为$(x_1, 0),(x_2, 0)$；
两个交点之间的距离为$|x_1 - x_2|$；
对称轴为直线$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$（或 $x = -\frac{b}{2a}$）。

例 如图,已知直线AB:y= kx+2k+4与抛物线$y= \frac{1}{2}x^2$交于A,B两点.

(1)直线AB总经过一个定点C,请直接写出点C的坐标.
(2)当$k= -\frac{1}{2}$时,在直线AB下方的抛物线上存在点P,使△ABP的面积等于5,求点P的坐标.
分析:(1)要求定点的坐标,只需寻找一个合适的x,使得y的值与k无关即可.
(2)联立两函数的解析式,就可求出点A,B的坐标;等积变换是解决面积问题常用的手段,如本题是将求点P的坐标转换为求y轴上的点Q的坐标,很好地降低了问题的难度.
解:(1)C(-2,4).
(2)如图,当$k= -\frac{1}{2}$时,直线AB的解析式为$y= -\frac{1}{2}x+3,$∴点N(0,3)为直线$y= -\frac{1}{2}x+3$与y轴的交点.
过点P作PQ// AB交y轴于点Q,则依题意知$S_{\triangle ABP}= S_{\triangle ABQ}= \frac{1}{2}NQ·(x_B - x_A)= 5,$∴NQ= 2,∴点Q的坐标为(0,1),∴PQ的解析式为$y= -\frac{1}{2}x+1,$
将$y= -\frac{1}{2}x+1与y= \frac{1}{2}x^2$联立求解,即得点P的坐标为$:P_1(-2,2),P_2(1,\frac{1}{2}).$

答案：
(1)C(-2,4).
(2)当$k=-\frac{1}{2}$时，直线AB的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+3$。
联立$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+3\\y=\frac{1}{2}x^2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-3\\y=\frac{9}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}$，即A(-3,$\frac{9}{2}$)，B(2,2)。
直线AB与y轴交于点N(0,3)。
过点P作PQ//AB交y轴于点Q，$S_{\triangle ABP}=S_{\triangle ABQ}=\frac{1}{2}NQ\cdot(x_B - x_A)=5$。
$x_B - x_A=2 - (-3)=5$，则$\frac{1}{2}NQ\cdot5=5$，解得NQ=2。
点Q的坐标为(0,3 - 2)=(0,1)。
PQ的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+1$。
联立$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+1\\y=\frac{1}{2}x^2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-2\\y=2\end{cases}$或$\begin{cases}x=1\\y=\frac{1}{2}\end{cases}$。
点P的坐标为(-2,2)或(1,$\frac{1}{2}$)。