《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

1. 在二次函数 $ y = ax^2 $ 中,当 $ a ＞ 0 $ 时,抛物线的开口______,对称轴是______,顶点坐标为______,顶点是抛物线的最______点；当 $ x = $______时,函数有最______值为______；当 $ x $______时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x $______时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数$y = ax^2$（其中$a \neq 0$）的图象和性质。
当$a ＞ 0$时，抛物线的开口方向：由于$a$为正，抛物线开口向上。
对称轴：对于函数$y = ax^2$，其对称轴是$y$轴，即$x = 0$。
顶点坐标：将$x = 0$代入函数，得$y = 0$，所以顶点坐标为$(0,0)$。
顶点是抛物线的最什么点：由于抛物线开口向上，所以顶点是抛物线的最低点。
函数的最值：当$x = 0$时，函数取得最小值，即$y = 0$。
函数的增减性：由于抛物线开口向上，且对称轴为$x = 0$，所以当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】：
开口向上；$y$轴（或 $x = 0$）；$(0,0)$；低；$0$；小；$0$；$＞ 0$；$＜ 0$。

2. 在二次函数 $ y = ax^2 $ 中,当 $ a ＜ 0 $ 时,抛物线的开口______,对称轴是______,顶点坐标为______,顶点是抛物线的最______点；当 $ x = $______时,函数有最______值为______；当 $ x $______时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x $______时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数$y = ax^2$（其中$a$为常数，$a \neq 0$）的图象和性质，特别是当$a ＜ 0$时，抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及函数的增减性。
当$a ＜ 0$时，抛物线的开口方向是向下。这是因为二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a ＞ 0$时，开口向上；当$a ＜ 0$时，开口向下。
对于二次函数$y = ax^2$，其对称轴是$y$轴，即$x = 0$。这是因为二次函数$y = ax^2 + bx + c$的对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$，而在本题中$b = 0$，所以对称轴为$x = 0$。
顶点坐标是$(0,0)$。这是因为二次函数$y = ax^2$的顶点坐标可以通过公式$(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a})$求得，而在本题中$b = 0$，$c = 0$，所以顶点坐标为$(0,0)$。
当$x = 0$时，函数有最大值，最大值为$0$。这是因为当抛物线开口向下时，顶点处取得最大值，而顶点坐标为$(0,0)$，所以最大值为$0$。
当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而增大。这是因为当抛物线开口向下时，在对称轴左侧（即$x ＜ 0$），函数值随$x$的增大而增大。
当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而减小。这是因为当抛物线开口向下时，在对称轴右侧（即$x ＞ 0$），函数值随$x$的增大而减小。
【答案】：
开口向下；$y$轴（或 $x = 0$）；$(0,0)$；高；$0$；大；$0$；$＜ 0$；$＞ 0$。

例 在同一平面直角坐标系中画出下列函数 $ y = -x^2 $,$ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 和 $ y = 2x^2 $ 的图象,根据你画出的图象,比较这些函数图象开口的大小.
分析：列表、描点画图时要取合适的值,既要考虑取值范围,又要体现抛物线的对称性.
解：先列表：
| $ x $ | ... | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | ... |
| $ y = -x^2 $ | ... | -9 | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | -9 | ... |



| $ x $ | ... | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | ... |
| $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ | ... | -4.5 | -2 | -0.5 | 0 | -0.5 | -2 | -4.5 | ... |
| $ x $ | ... | -2 | -1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 2 | ... |
| $ y = 2x^2 $ | ... | 8 | 2 | 0.5 | 0 | 0.5 | 2 | 8 | ... |

然后再描点连线,得 $ y = -x^2 $,$ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 和 $ y = 2x^2 $ 的图象.
由图可知,函数图象开口的大小从大到小依次为 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $,$ y = -x^2 $,$ y = 2x^2 $.

答案： 解：先列表：
| $ x $ | ... | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | ... |
| $ y = -x^2 $ | ... | -9 | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | -9 | ... |
| $ x $ | ... | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | ... |
| $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ | ... | -4.5 | -2 | -0.5 | 0 | -0.5 | -2 | -4.5 | ... |
| $ x $ | ... | -2 | -1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 2 | ... |
| $ y = 2x^2 $ | ... | 8 | 2 | 0.5 | 0 | 0.5 | 2 | 8 | ... |
然后描点连线，得 $ y = -x^2 $，$ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 和 $ y = 2x^2 $ 的图象。
由图可知，函数图象开口的大小从大到小依次为 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $，$ y = -x^2 $，$ y = 2x^2 $。