《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

19.关于$x的方程(k - 1)^{2}x^{2}+(2k + 1)x + 1= 0$有实数根,求$k$的取值范围.

答案： 当k-1≠0,即k≠1时,此方程为一元二次方程.
∵关于x的方程(k-1)²x²+(2k+1)x+1=0有实数根,
∴Δ=(2k+1)²-4×(k-1)²×1=12k-3≥0,
∴k≥$\frac{1}{4}$且k≠1.当k-1=0,即k=1时,方程为3x+1=0,显然有解.综上,k的取值范围是k≥$\frac{1}{4}$.

20.阅读下面的材料,并解决相关问题.右图是一个三角点阵,从上向下数,第一行有1个点,第二行有2个点……第$n行有n$个点……容易发现,三角点阵中前4行的点数之和为10.
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为______,前15行的点数之和为______,前$n$行的点数之和为______.
(2)体验：三角点阵中前$n$行的点数之和______(填“能”或“不能”)为500.
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景,其中一种造型要用420盆同样规格的花,按照第一排2盆,第二排4盆,第三排6盆……第$n排2n$盆的规律摆放而成,则一共能摆放多少排？

答案：
(1)36 120 $\frac{1}{2}$n(n+1)
(2)不能
(3)前n排的盆数之和为2+4+6+…+2n=2×$\frac{1}{2}$(1+n)×n=n(n+1),由题意,得n(n+1)=420,得n²+n-420=0,解得n=20或n=-21(舍去),
∴一共能摆放20排.

21.一张桌子的桌面长为6 dm,宽为4 dm,长方形桌布的面积为桌面面积的2倍.将桌布铺在桌子上,四边垂下的长度相同(四个角除外).求桌布的长和宽.

答案： 设四边垂下的长度为x dm,由题意列方程,得(6+2x)(4+2x)=6×4×2,化简,得x²+5x-6=0,解得x₁=1,x₂=-6(舍去).故桌布的长为8 dm,宽为6 dm.

22.已知关于$x的一元二次方程x^{2}-6x + 2m - 1= 0有x_{1},x_{2}$两实数根.
(1)若$x_{1}= 1$,求$x_{2}及m$的值；
(2)是否存在实数$m$,满足$(x_{1}-1)(x_{2}-1)= \frac{6}{m - 5}$？若存在,求出实数$m$的值；若不存在,请说明理由.

答案：
(1)根据题意得Δ=(-6)²-4(2m-1)≥0,解得m≤5.由题可知x₁+x₂=6,x₁x₂=2m-1,
∵x₁=1,
∴1+x₂=6,x₂=2m-1,
∴x₂=5,m=3.
(2)存在.根据题意(x₁-1)(x₂-1)=$\frac{6}{m-5}$,转化为x₁x₂-(x₁+x₂)+1=$\frac{6}{m-5}$,即2m-1-6+1=$\frac{6}{m-5}$,整理得m²-8m+12=0,解得m₁=2,m₂=6.
∵m≤5且m≠5,
∴m=2.