《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

例2 如图,AB是$\odot O$的直径,P为半圆上一点(不与A,B重合),点I为$\triangle ABP$的内心,连接PI并延长交$\odot O$于点M,$IN\perp BP$,垂足为N.有下列结论：①$\angle APM= 45^{\circ}$；②$AB= \sqrt{2}IM$；③$\angle BIM= \angle BAP$；④$\frac{IN+OB}{PM}= \frac{\sqrt{2}}{2}$.其中正确的结论有( ).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
分析：(1)由直径所对圆周角可得$\angle APB= 90^{\circ}$.$\because$点I为内心,$\therefore PM平分\angle APB$,$\therefore\angle APM= 45^{\circ}$,故结论①正确.
(2)如图①,连接BM,AM,由①,得$\angle APM= 45^{\circ}$.又$\because\angle ABM= \angle APM$,$\therefore\triangle ABM$为等腰直角三角形,$\therefore AB= \sqrt{2}AM$.令$\angle IAP= \angle IAB= x^{\circ}$,则$\angle IAM= 45^{\circ}+x^{\circ}$,$\angle AIM= 45^{\circ}+x^{\circ}$,$\therefore\angle IAM= \angle AIM$,$AM= IM$,$\therefore AB= \sqrt{2}IM$,故结论②正确.
(3)若$\angle BIM= \angle BAP$,由$\angle BIM= 45^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ABP$,$\angle BAP+\angle ABP= 90^{\circ}$,联立方程组,解出$\angle BAP= 60^{\circ}$,而P为动点,故结论③不成立.
(4)如图②,过点M作AP,BP的垂线,易证四边形PCMD为正方形,$AB= 2OB$,则$IM= AM= \frac{\sqrt{2}}{2}AB$,$\therefore IM= \sqrt{2}OB$.又$\because PI= \sqrt{2}IN$,$\therefore PM= \sqrt{2}(IN+OB)$,$\therefore\frac{IN+OB}{PM}= \frac{\sqrt{2}}{2}$.故结论④正确.
解：正确结论有3个.故选C.

答案： 解：①
∵AB是$\odot O$直径，
∴$\angle APB=90^\circ$。
∵点I为$\triangle ABP$内心，
∴PM平分$\angle APB$，$\angle APM=\frac{1}{2}\angle APB=45^\circ$，①正确。
②连接AM，BM。
∵$\angle ABM=\angle APM=45^\circ$，$\angle AMB=90^\circ$，
∴$\triangle ABM$为等腰直角三角形，$AB=\sqrt{2}AM$。
设$\angle IAP=\angle IAB=x^\circ$，则$\angle IAM=45^\circ+x^\circ$，$\angle AIM=\angle IAP+\angle APM=45^\circ+x^\circ$，
∴$\angle IAM=\angle AIM$，$AM=IM$，
∴$AB=\sqrt{2}IM$，②正确。
③$\angle BIM=\angle IBP+\angle IPM=\frac{1}{2}\angle ABP+45^\circ$，$\angle BAP=90^\circ-\angle ABP$。
若$\angle BIM=\angle BAP$，则$\frac{1}{2}\angle ABP+45^\circ=90^\circ-\angle ABP$，解得$\angle ABP=30^\circ$，但P为动点，③错误。
④过点M作$MC\perp AP$于C，$MD\perp BP$于D，易证四边形PCMD为正方形，$PM=\sqrt{2}PC$。
∵I为内心，$IN=IC=ID$，$PC=IN+OB$，
∴$PM=\sqrt{2}(IN+OB)$，$\frac{IN+OB}{PM}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，④正确。
正确结论有3个。
故选C。

1.如图,点O是$\triangle ABC$的内心,过点O作$EF// AB$,与AC,BC分别交于点E,F,则下面的结论中正确的是( ).

A.$EF＞AE+BF$
B.$EF＜AE+BF$
C.$EF= AE+BF$
D.$EF\leq AE+BF$

答案： C