《2025年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版》

19.如图,在平面直角坐标系中,点M在第一象限内,MN⊥x轴,垂足为N,MN= 1,⊙M与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点.
(1)求⊙M的半径的长.
(2)请判断⊙M与直线x= 7的位置关系,并说明理由.

答案： 1. （1）
解：连接$MA$。
因为$MN\perp x$轴，$A(2,0)$，$B(6,0)$，根据垂径定理，$AN = BN=\frac{AB}{2}$。
由$AB=\vert6 - 2\vert=4$，可得$AN = 2$。
已知$MN = 1$，在$Rt\triangle AMN$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$a = AN$，$b = MN$，$c = MA$），则$MA=\sqrt{AN^{2}+MN^{2}}$。
把$AN = 2$，$MN = 1$代入可得：$MA=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4 + 1}=\sqrt{5}$。
所以$\odot M$的半径长为$\sqrt{5}$。
2. （2）
解：$\odot M$与直线$x = 7$的位置关系是相离。
理由：因为$A(2,0)$，$AN = 2$，所以$ON=OA + AN=2 + 2=4$，即圆心$M$的横坐标为$4$。
圆心$M$到直线$x = 7$的距离$d=7 - 4=3$。
已知$\odot M$的半径$r=\sqrt{5}$，因为$d = 3$，$r=\sqrt{5}\approx2.24$，$d＞r$。
根据直线与圆的位置关系：设圆的半径为$r$，圆心到直线的距离为$d$，当$d＞r$时，直线与圆相离。所以$\odot M$与直线$x = 7$相离。
综上，（1）$\odot M$半径为$\sqrt{5}$；（2）$\odot M$与直线$x = 7$相离。

20.如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,F,G均在格点上.
(1)线段AG的长为______.
(2)点E在水平网格线上,过点A,E,F作圆,以圆与水平网格线的交点为切点作切线,分别与AE,AF的延长线相交于点B,C.在△ABC中,点M在边BC上,点N在边AB上,点P在边AC上.请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出点M,N,P,使△MNP的周长最短,并简要说明点M,N,P的位置是如何找到的(不要求证明).

答案：

(1)$\sqrt{2}$
提示：由勾股定理可知，$AG = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$.
(2)如图，根据题意，切点为M；连接ME并延长，与网格线相交于点$M_{1}$；取圆与网格线的交点D和格点H，连接DH并延长，与网格线相交于点$M_{2}$；连接$M_{1}M_{2}$，分别与AB，AC相交于点N，P，则点M，N，P即为所求.

21.如图,⊙O的直径AB= 4,AC是弦,沿AC折叠劣弧$\overset{\frown}{AC}$,记折叠后的劣弧为$\overset{\frown}{AmC}$.
(1)如图①,当$\overset{\frown}{AmC}$经过圆心O时,求AC的长.
(2)如图②,当$\overset{\frown}{AmC}$与AB相切于点A时,画出$\overset{\frown}{AmC}$所在圆的圆心P,并求AC的长.
(3)如图③,设$\overset{\frown}{AmC}$与直径AB交于点D,DB= x,用含x的代数式表示AC的长.

答案： 1. （1）
过$O$作$OD\perp AC$于$D$，交$\overset{\frown}{AC}$于$E$。
因为沿$AC$折叠劣弧$\overset{\frown}{AC}$，$\overset{\frown}{AmC}$经过圆心$O$，所以$OD = DE=\frac{1}{2}OA$。
已知$AB = 4$，则$OA=\frac{1}{2}AB = 2$，所以$OD = 1$。
在$Rt\triangle AOD$中，根据勾股定理$AD=\sqrt{OA^{2}-OD^{2}}$（$a,b$为直角边，$c$为斜边，$c = \sqrt{a^{2}+b^{2}}$），$OA = 2$，$OD = 1$，则$AD=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。
因为$OD\perp AC$，根据垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧），$AC = 2AD$，所以$AC = 2\sqrt{3}$。
2. （2）
连接$PA$，$PC$，因为$\overset{\frown}{AmC}$与$AB$相切于点$A$，所以$PA\perp AB$。
又因为$PA = PC$，$AB$是$\odot O$的直径，$\angle ACB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角），$PA// BC$。
设$PA = r$，则$PC=r$，$OB = 2$，$BC = 4 - r$。
因为$PA// BC$，所以$\triangle AOP\sim\triangle BOC$（$AA$相似判定：两角分别相等的两个三角形相似），$\frac{PA}{BC}=\frac{AO}{BO}$，$AO = BO = 2$，则$r=4 - r$，解得$r = 2$。
因为$PA\perp AB$，$AB = 4$，$PA = 2$，根据勾股定理$AC=\sqrt{PA^{2}+AB^{2}}$，$AC=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$。
（画图：以$A$为切点，作$AB$的垂线，截取$PA = 2$，以$P$为圆心，$PA$长为半径画圆，圆心$P$即为$\overset{\frown}{AmC}$所在圆的圆心）。
3. （3）
连接$BC$，因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$。
由折叠可知$\angle ADC=\angle ABC$（折叠前后对应角相等），$\angle A=\angle A$，所以$\triangle ABC\sim\triangle ADC$（$AA$相似判定）。
则$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$（相似三角形对应边成比例），即$AC^{2}=AB· AD$。
已知$AB = 4$，$AD=4 - x$，所以$AC=\sqrt{4(4 - x)} = 2\sqrt{4 - x}$。
综上，（1）$AC = 2\sqrt{3}$；（2）$AC = 2\sqrt{5}$；（3）$AC = 2\sqrt{4 - x}$。